Algèbre linéaire Exemples

$x + y = - 10$ , ${(x + 3)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 10$

Étape 1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 10 - y$

${(x + 3)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 10$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 10 - y$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans ${(x + 3)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 10$ par $- 10 - y$ .

${((- 10 - y) + 3)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${((- 10 - y) + 3)}^{2} + {(y + 9)}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Additionnez $- 10$ et $3$ .

${(- y - 7)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.2

Réécrivez ${(- y - 7)}^{2}$ comme $(- y - 7) (- y - 7)$ .

$(- y - 7) (- y - 7) + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.3

Développez $(- y - 7) (- y - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- y (- y - 7) - 7 (- y - 7) + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- y (- y) - y \cdot - 7 - 7 (- y - 7) + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- y (- y) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

$- y (- y) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 \cdot (- 1 y \cdot y) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.4.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.4.1.2.1

Déplacez $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.4.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

$- 1 \cdot (- 1 y^{2}) - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y^{2} - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.4.1.4

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} - y \cdot - 7 - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.4.1.5

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$y^{2} + 7 y - 7 (- y) - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$y^{2} + 7 y + 7 y - 7 \cdot - 7 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.4.1.7

Multipliez $- 7$ par $- 7$ .

$y^{2} + 7 y + 7 y + 49 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 7 y + 7 y + 49 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $7 y$ et $7 y$ .

$y^{2} + 14 y + 49 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 14 y + 49 + {(y + 9)}^{2} = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.5

Réécrivez ${(y + 9)}^{2}$ comme $(y + 9) (y + 9)$ .

$y^{2} + 14 y + 49 + (y + 9) (y + 9) = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.6

Développez $(y + 9) (y + 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} + 14 y + 49 + y (y + 9) + 9 (y + 9) = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} + 14 y + 49 + y \cdot y + y \cdot 9 + 9 (y + 9) = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} + 14 y + 49 + y \cdot y + y \cdot 9 + 9 y + 9 \cdot 9 = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 14 y + 49 + y \cdot y + y \cdot 9 + 9 y + 9 \cdot 9 = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.7.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + y \cdot 9 + 9 y + 9 \cdot 9 = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.7.1.2

Déplacez $9$ à gauche de $y$ .

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 9 \cdot y + 9 y + 9 \cdot 9 = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.7.1.3

Multipliez $9$ par $9$ .

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 9 y + 9 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 9 y + 9 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.1.7.2

Additionnez $9 y$ et $9 y$ .

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 18 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 18 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

$y^{2} + 14 y + 49 + y^{2} + 18 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1.2.1

Additionnez $y^{2}$ et $y^{2}$ .

$2 y^{2} + 14 y + 49 + 18 y + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.2.2

Additionnez $14 y$ et $18 y$ .

$2 y^{2} + 32 y + 49 + 81 = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 2.2.1.2.3

Additionnez $49$ et $81$ .

$2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$

$x = - 10 - y$

$2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$

$x = - 10 - y$

$2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$

$x = - 10 - y$

$2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$

$x = - 10 - y$

$2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$

$x = - 10 - y$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $2 y^{2} + 32 y + 130 = 10$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} + 32 y + 130 - 10 = 0$

$x = - 10 - y$

Étape 3.2

Soustrayez $10$ de $130$ .

$2 y^{2} + 32 y + 120 = 0$

$x = - 10 - y$

Étape 3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2} + 32 y + 120$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2}$ .

$2 (y^{2}) + 32 y + 120 = 0$

$x = - 10 - y$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $32 y$ .

$2 (y^{2}) + 2 (16 y) + 120 = 0$

$x = - 10 - y$

Étape 3.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $120$ .

$2 y^{2} + 2 (16 y) + 2 \cdot 60 = 0$

$x = - 10 - y$

Étape 3.3.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2} + 2 (16 y)$ .

$2 (y^{2} + 16 y) + 2 \cdot 60 = 0$

$x = - 10 - y$

Étape 3.3.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (y^{2} + 16 y) + 2 \cdot 60$ .

$2 (y^{2} + 16 y + 60) = 0$

$x = - 10 - y$

$2 (y^{2} + 16 y + 60) = 0$

$x = - 10 - y$

Étape 3.3.2

Factorisez.

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $y^{2} + 16 y + 60$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $60$ et dont la somme est $16$ .

$6, 10$

$x = - 10 - y$

Étape 3.3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((y + 6) (y + 10)) = 0$

$x = - 10 - y$

$2 ((y + 6) (y + 10)) = 0$

$x = - 10 - y$

Étape 3.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (y + 6) (y + 10) = 0$

$x = - 10 - y$

$2 (y + 6) (y + 10) = 0$

$x = - 10 - y$

$2 (y + 6) (y + 10) = 0$

$x = - 10 - y$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y + 6 = 0$

$y + 10 = 0$

$x = - 10 - y$

Étape 3.5

Définissez $y + 6$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $y + 6$ égal à $0$ .

$y + 6 = 0$

$x = - 10 - y$

Étape 3.5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 6$

$x = - 10 - y$

$y = - 6$

$x = - 10 - y$

Étape 3.6

Définissez $y + 10$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $y + 10$ égal à $0$ .

$y + 10 = 0$

$x = - 10 - y$

Étape 3.6.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 10$

$x = - 10 - y$

$y = - 10$

$x = - 10 - y$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (y + 6) (y + 10) = 0$ vraie.

$y = - 6, - 10$

$x = - 10 - y$

$y = - 6, - 10$

$x = - 10 - y$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 6$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - 10 - y$ par $- 6$ .

$x = - 10 - (- 6)$

$y = - 6$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $- 10 - (- 6)$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$x = - 10 + 6$

$y = - 6$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $- 10$ et $6$ .

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

$x = - 4$

$y = - 6$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 10$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - 10 - y$ par $- 10$ .

$x = - 10 - (- 10)$

$y = - 10$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $- 10 - (- 10)$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$x = - 10 + 10$

$y = - 10$

Étape 5.2.1.2

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$x = 0$

$y = - 10$

$x = 0$

$y = - 10$

$x = 0$

$y = - 10$

$x = 0$

$y = - 10$

Étape 6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(- 4, - 6)$

$(0, - 10)$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(- 4, - 6), (0, - 10)$

Forme de l’équation :

$x = - 4, y = - 6$

$x = 0, y = - 10$

Étape 8