Algèbre linéaire Exemples

$- 1 x + 0 y + z = 0$ , $x + y + 0 z = - 3$ , $0 x + y + 3 z = 1$

Étape 1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- x + 0 y + z = 0, x + y + 0 z = - 3, 0 x + y + 3 z = 1$

Étape 1.1.2

Multipliez $0$ par $y$ .

$- x + 0 + z = 0, x + y + 0 z = - 3, 0 x + y + 3 z = 1$

Étape 1.2

Additionnez $- x$ et $0$ .

$- x + z = 0, x + y + 0 z = - 3, 0 x + y + 3 z = 1$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez $0$ par $z$ .

$- x + z = 0, x + y + 0 = - 3, 0 x + y + 3 z = 1$

Étape 2.2

Additionnez $x + y$ et $0$ .

$- x + z = 0, x + y = - 3, 0 x + y + 3 z = 1$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$- x + z = 0, x + y = - 3, 0 + y + 3 z = 1$

Étape 3.2

Additionnez $0$ et $y$ .

$- x + z = 0, x + y = - 3, y + 3 z = 1$

Étape 4

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Étape 5

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 1 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Étape 5.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Étape 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 0 + 1 & - 3 - 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Étape 5.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Étape 5.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 3 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 3 - 1 & 1 + 3 \end{array}]$

Étape 5.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}]$

Étape 5.4

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 3 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{4}{2} \end{array}]$

Étape 5.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 5.5

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & - 3 - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 5.5.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 5.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 5.6.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Étape 6

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x = 2$

$y = - 5$

$z = 2$

Étape 7

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(2, - 5, 2)$

Étape 8

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 2 \end{array}]$