Algèbre linéaire Exemples

$4 x + 7 y = 10$ , $x + 1.75 y = 2.5$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & 7 & 10 \\ 1 & 1.75 & 2.5 \end{array}]$

Étape 2

Réduisez en ligne pour éliminer l’une des variables.

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Étape 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{7}{4} & \frac{10}{4} \\ 1 & 1.75 & 2.5 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{4} & \frac{5}{2} \\ 1 & 1.75 & 2.5 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{4} & \frac{5}{2} \\ 1 - 1 & 1.75 - \frac{7}{4} & 2.5 - \frac{5}{2} \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{4} & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x + \frac{7 y}{4} = \frac{5}{2}$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{7 y}{4} = \frac{5}{2} - x$

Étape 4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{7}$ .

$\frac{4}{7} \cdot \frac{7 y}{4} = \frac{4}{7} (\frac{5}{2} - x)$

Étape 4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1.1

Simplifiez $\frac{4}{7} \cdot \frac{7 y}{4}$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{7} \cdot \frac{7 y}{4} = \frac{4}{7} (\frac{5}{2} - x)$

Étape 4.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{7} (7 y) = \frac{4}{7} (\frac{5}{2} - x)$

Étape 4.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.3.1.1.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7 y$ .

$\frac{1}{7} (7 (y)) = \frac{4}{7} (\frac{5}{2} - x)$

Étape 4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{7} (7 y) = \frac{4}{7} (\frac{5}{2} - x)$

Étape 4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{4}{7} (\frac{5}{2} - x)$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez $\frac{4}{7} (\frac{5}{2} - x)$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{2} + \frac{4}{7} (- x)$

Étape 4.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 (2)}{7} \cdot \frac{5}{2} + \frac{4}{7} (- x)$

Étape 4.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \cdot 2}{7} \cdot \frac{5}{2} + \frac{4}{7} (- x)$

Étape 4.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2}{7} \cdot 5 + \frac{4}{7} (- x)$

Étape 4.3.2.1.3

Associez $\frac{2}{7}$ et $5$ .

$y = \frac{2 \cdot 5}{7} + \frac{4}{7} (- x)$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{10}{7} + \frac{4}{7} (- x)$

Étape 4.3.2.1.5

Associez $\frac{4}{7}$ et $x$ .

$y = \frac{10}{7} - \frac{4 x}{7}$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $\frac{10}{7}$ et $- \frac{4 x}{7}$ .

$y = - \frac{4 x}{7} + \frac{10}{7}$

Étape 5

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(x, - \frac{4 x}{7} + \frac{10}{7})$

Étape 6

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - \frac{4 x}{7} + \frac{10}{7} \end{array}]$