Algèbre linéaire Exemples

$4 s + 3 t = - 9$ , $\frac{1}{3} s + 2 = t$

Étape 1

Associez $\frac{1}{3}$ et $s$ .

$4 s + 3 t = - 9, \frac{s}{3} + 2 = t$

Étape 2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$4 s + 3 t = - 9, \frac{s}{3} = t - 2$

Étape 3

Soustrayez $t$ des deux côtés de l’équation.

$4 s + 3 t = - 9, \frac{s}{3} - t = - 2$

Étape 4

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & 3 & - 9 \\ \frac{1}{3} & - 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 5

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{3}{4} & \frac{- 9}{4} \\ \frac{1}{3} & - 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 5.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & - \frac{9}{4} \\ \frac{1}{3} & - 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{3} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{3} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & - \frac{9}{4} \\ \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & - 1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} & - 2 - \frac{1}{3} (- \frac{9}{4}) \end{array}]$

Étape 5.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & - \frac{9}{4} \\ 0 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \end{array}]$

Étape 5.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{4}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 5.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{4}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & - \frac{9}{4} \\ - \frac{4}{5} \cdot 0 & - \frac{4}{5} (- \frac{5}{4}) & - \frac{4}{5} (- \frac{5}{4}) \end{array}]$

Étape 5.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & - \frac{9}{4} \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 5.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 5.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{4} \cdot 0 & \frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 & - \frac{9}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 5.4.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 6

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$s = - 3$

$t = 1$

Étape 7

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(- 3, 1)$

Étape 8

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} s \\ t \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \end{array}]$