Algèbre linéaire Exemples

$(4 x - y) = 6$ , $(\frac{1}{2} y) = - 3 + 2 x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$4 x - y = 6, \frac{1}{2} y = - 3 + 2 x$

Étape 2

Associez $\frac{1}{2}$ et $y$ .

$4 x - y = 6, \frac{y}{2} = - 3 + 2 x$

Étape 3

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x - y = 6, \frac{y}{2} - 2 x = - 3$

Étape 4

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & - 1 & 6 \\ - 2 & \frac{1}{2} & - 3 \end{array}]$

Étape 5

Réduisez en ligne pour éliminer l’une des variables.

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Étape 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 1}{4} & \frac{6}{4} \\ - 2 & \frac{1}{2} & - 3 \end{array}]$

Étape 5.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & \frac{3}{2} \\ - 2 & \frac{1}{2} & - 3 \end{array}]$

Étape 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & \frac{3}{2} \\ - 2 + 2 \cdot 1 & \frac{1}{2} + 2 (- \frac{1}{4}) & - 3 + 2 (\frac{3}{2}) \end{array}]$

Étape 5.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{4} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 6

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x - \frac{y}{4} = \frac{3}{2}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 7.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y}{4} = \frac{3}{2} - x$

Étape 7.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 4$ .

$- 4 (- \frac{y}{4}) = - 4 (\frac{3}{2} - x)$

Étape 7.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.1.1

Simplifiez $- 4 (- \frac{y}{4})$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{4}$ dans le numérateur.

$- 4 \frac{- y}{4} = - 4 (\frac{3}{2} - x)$

Étape 7.3.1.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- y}{4} = - 4 (\frac{3}{2} - x)$

Étape 7.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 1 \frac{- y}{4} = - 4 (\frac{3}{2} - x)$

Étape 7.3.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - y = - 4 (\frac{3}{2} - x)$

Étape 7.3.1.1.2

Multipliez.

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Étape 7.3.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - 4 (\frac{3}{2} - x)$

Étape 7.3.1.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - 4 (\frac{3}{2} - x)$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.1

Simplifiez $- 4 (\frac{3}{2} - x)$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 4 (\frac{3}{2}) - 4 (- x)$

Étape 7.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y = 2 (- 2) \frac{3}{2} - 4 (- x)$

Étape 7.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 2 \cdot - 2 \frac{3}{2} - 4 (- x)$

Étape 7.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - 2 \cdot 3 - 4 (- x)$

Étape 7.3.2.1.3

Multipliez.

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Étape 7.3.2.1.3.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$y = - 6 - 4 (- x)$

Étape 7.3.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = - 6 + 4 x$

Étape 7.4

Remettez dans l’ordre $- 6$ et $4 x$ .

$y = 4 x - 6$

Étape 8

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(x, 4 x - 6)$

Étape 9

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 4 x - 6 \end{array}]$