Algèbre linéaire Exemples

$x + 2 y = 3$ , $2 x + k y = 2$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 & 3 \\ y & 2 & 0 & 2 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} y & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Étape 2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{y}{y} & \frac{2}{y} & \frac{0}{y} & \frac{2}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{y} & 0 & \frac{2}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Étape 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{y} \cdot 0 & \frac{2}{y} - \frac{2}{y} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{y} \cdot 2 & \frac{2}{y} - \frac{2}{y} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{y} & - \frac{4}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$k - \frac{4 y}{y} = - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $k$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Ajoutez $\frac{4}{y}$ aux deux côtés de l’équation.

$k - \frac{4 y}{y} + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$k - \frac{4 y}{y} + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Étape 4.1.2.1.2

Divisez $4$ par $1$ .

$k - 1 \cdot 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 1 \cdot 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $k$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$k + \frac{4}{y} = 4$

$x + 2 y = 3$

Étape 4.2.2

Soustrayez $\frac{4}{y}$ des deux côtés de l’équation.

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

Étape 5

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$x = 3 - 2 y$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

Étape 6

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(4 - \frac{4}{y}, 3 - 2 y, y)$

Étape 7

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} k \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 - \frac{4}{y} \\ 3 - 2 y \\ y \end{array}]$