Algèbre linéaire Exemples

$x + y = 60$ , $25 x + 15 x = 1150$

Étape 1

Additionnez $25 x$ et $15 x$ .

$x + y = 60, 40 x = 1150$

Étape 2

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 60 \\ 40 & 0 & 1150 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 40 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 3.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 40 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 60 \\ 40 - 40 \cdot 1 & 0 - 40 \cdot 1 & 1150 - 40 \cdot 60 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 60 \\ 0 & - 40 & - 1250 \end{array}]$

Étape 3.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{40}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 3.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{40}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 60 \\ - \frac{1}{40} \cdot 0 & - \frac{1}{40} \cdot - 40 & - \frac{1}{40} \cdot - 1250 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 60 \\ 0 & 1 & \frac{125}{4} \end{array}]$

Étape 3.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 3.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 60 - \frac{125}{4} \\ 0 & 1 & \frac{125}{4} \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{115}{4} \\ 0 & 1 & \frac{125}{4} \end{array}]$

Étape 4

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x = \frac{115}{4}$

$y = \frac{125}{4}$

Étape 5

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(\frac{115}{4}, \frac{125}{4})$

Étape 6

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{115}{4} \\ \frac{125}{4} \end{array}]$