Algèbre linéaire Exemples

$x + y - z = 1$ , $2 x + 3 y + a z = 3$ , $x + a y + 3 z = 2$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ z & 2 & 3 & 0 & 3 \\ y & 1 & 0 & 3 & 2 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Inversez $R_{2}$ avec $R_{1}$ pour placer une entrée non nulle sur $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} z & 2 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ y & 1 & 0 & 3 & 2 \end{array}]$

Étape 2.2

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{z}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

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Étape 2.2.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{z}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{z}{z} & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & \frac{0}{z} & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ y & 1 & 0 & 3 & 2 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ y & 1 & 0 & 3 & 2 \end{array}]$

Étape 2.3

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - y R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

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Étape 2.3.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - y R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ y - y \cdot 1 & 1 - y \frac{2}{z} & 0 - y \frac{3}{z} & 3 - y \cdot 0 & 2 - y \frac{3}{z} \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 - \frac{2 y}{z} & - \frac{3 y}{z} & 3 & 2 - \frac{3 y}{z} \end{array}]$

Étape 2.4

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - (1 - \frac{2 y}{z}) R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

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Étape 2.4.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - (1 - \frac{2 y}{z}) R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 - (1 - \frac{2 y}{z}) \cdot 0 & 1 - \frac{2 y}{z} - (1 - \frac{2 y}{z}) \cdot 1 & - \frac{3 y}{z} - (1 - \frac{2 y}{z}) \cdot 1 & 3 - (1 - \frac{2 y}{z}) \cdot - 1 & 2 - \frac{3 y}{z} - (1 - \frac{2 y}{z}) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 - \frac{y}{z} & 4 - \frac{2 y}{z} & 1 - \frac{y}{z} \end{array}]$

Étape 2.5

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $\frac{1}{- 1 - \frac{y}{z}}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

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Étape 2.5.1

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $\frac{1}{- 1 - \frac{y}{z}}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ \frac{0}{- 1 - \frac{y}{z}} & \frac{0}{- 1 - \frac{y}{z}} & \frac{- 1 - \frac{y}{z}}{- 1 - \frac{y}{z}} & \frac{4 - \frac{2 y}{z}}{- 1 - \frac{y}{z}} & \frac{1 - \frac{y}{z}}{- 1 - \frac{y}{z}} \end{array}]$

Étape 2.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2 (2 z - y)}{z + y} & - \frac{z - y}{z + y} \end{array}]$

Étape 2.6

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

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Étape 2.6.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & - 1 + \frac{2 (2 z - y)}{z + y} & 1 + \frac{z - y}{z + y} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2 (2 z - y)}{z + y} & - \frac{z - y}{z + y} \end{array}]$

Étape 2.6.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & \frac{3}{z} & 0 & \frac{3}{z} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{3 (y - z)}{z + y} & \frac{2 z}{z + y} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2 (2 z - y)}{z + y} & - \frac{z - y}{z + y} \end{array}]$

Étape 2.7

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{z} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

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Étape 2.7.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{z} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{z} \cdot 0 & \frac{2}{z} - \frac{3}{z} \cdot 0 & \frac{3}{z} - \frac{3}{z} \cdot 1 & 0 - \frac{3}{z} (- \frac{2 (2 z - y)}{z + y}) & \frac{3}{z} - \frac{3}{z} (- \frac{z - y}{z + y}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{3 (y - z)}{z + y} & \frac{2 z}{z + y} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2 (2 z - y)}{z + y} & - \frac{z - y}{z + y} \end{array}]$

Étape 2.7.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{z} & 0 & \frac{6 (2 z - y)}{z (z + y)} & \frac{6}{z + y} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{3 (y - z)}{z + y} & \frac{2 z}{z + y} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2 (2 z - y)}{z + y} & - \frac{z - y}{z + y} \end{array}]$

Étape 2.8

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{z} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 2.8.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{z} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{z} \cdot 0 & \frac{2}{z} - \frac{2}{z} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{z} \cdot 0 & \frac{6 (2 z - y)}{z (z + y)} - \frac{2}{z} (- \frac{3 (y - z)}{z + y}) & \frac{6}{z + y} - \frac{2}{z} \cdot \frac{2 z}{z + y} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{3 (y - z)}{z + y} & \frac{2 z}{z + y} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2 (2 z - y)}{z + y} & - \frac{z - y}{z + y} \end{array}]$

Étape 2.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{6}{z + y} & \frac{2}{y + z} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{3 (y - z)}{z + y} & \frac{2 z}{z + y} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{2 (2 z - y)}{z + y} & - \frac{z - y}{z + y} \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$a + \frac{6 z}{z + y} = \frac{2}{y + z}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $\frac{2}{y + z}$ des deux côtés de l’équation.

$a + \frac{6 z}{z + y} - \frac{2}{y + z} = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $a$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z + y}{z + y}$ .

$a \cdot \frac{z + y}{z + y} + \frac{6 z}{z + y} - \frac{2}{y + z} = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.1.3

Associez $a$ et $\frac{z + y}{z + y}$ .

$\frac{a (z + y)}{z + y} + \frac{6 z}{z + y} - \frac{2}{y + z} = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a (z + y) + 6 z}{z + y} - \frac{2}{y + z} = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a z + a y + 6 z}{z + y} - \frac{2}{y + z} = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a z + a y + 6 z}{y + z} - \frac{2}{y + z} = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a z + a y + 6 z - 2}{y + z} = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$\frac{a z + a y + 6 z - 2}{y + z} = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$a z + a y + 6 z - 2 = 0$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.3

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 4.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1.1

Soustrayez $6 z$ des deux côtés de l’équation.

$a z + a y - 2 = - 6 z$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.3.1.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$a z + a y = - 6 z + 2$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a z + a y = - 6 z + 2$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.3.2

Factorisez $a$ à partir de $a z + a y$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $a$ à partir de $a z$ .

$a (z) + a y = - 6 z + 2$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.3.2.2

Factorisez $a$ à partir de $a y$ .

$a (z) + a (y) = - 6 z + 2$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.3.2.3

Factorisez $a$ à partir de $a (z) + a (y)$ .

$a (z + y) = - 6 z + 2$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a (z + y) = - 6 z + 2$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.3.3

Divisez chaque terme dans $a (z + y) = - 6 z + 2$ par $z + y$ et simplifiez.

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Étape 4.3.3.1

Divisez chaque terme dans $a (z + y) = - 6 z + 2$ par $z + y$ .

$\frac{a (z + y)}{z + y} = \frac{- 6 z}{z + y} + \frac{2}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $z + y$ .

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Étape 4.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a (z + y)}{z + y} = \frac{- 6 z}{z + y} + \frac{2}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.3.3.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{- 6 z}{z + y} + \frac{2}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a = \frac{- 6 z}{z + y} + \frac{2}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a = \frac{- 6 z}{z + y} + \frac{2}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a = \frac{- 6 z + 2}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.3.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 z + 2$ .

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Étape 4.3.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 z$ .

$a = \frac{2 (- 3 z) + 2}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.3.3.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$a = \frac{2 (- 3 z) + 2 (1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.3.3.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3 z) + 2 (1)$ .

$a = \frac{2 (- 3 z + 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a = \frac{2 (- 3 z + 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.3.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 z$ .

$a = \frac{2 (- (3 z) + 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.3.3.3.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$a = \frac{2 (- (3 z) - 1 \cdot - 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.3.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 z) - 1 (- 1)$ .

$a = \frac{2 (- (3 z - 1))}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.3.3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.3.3.6.1

Réécrivez $- (3 z - 1)$ comme $- 1 (3 z - 1)$ .

$a = \frac{2 (- 1 (3 z - 1))}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 4.3.3.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} = \frac{2 z}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $\frac{2 z}{z + y}$ des deux côtés de l’équation.

$x - \frac{3 (y - z) z}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.1.2

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z + y}{z + y}$ .

$x \cdot \frac{z + y}{z + y} - \frac{3 (y - z) z}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.1.3

Associez $x$ et $\frac{z + y}{z + y}$ .

$\frac{x (z + y)}{z + y} - \frac{3 (y - z) z}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (z + y) - 3 (y - z) z}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x z + x y - 3 (y - z) z}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x z + x y + (- 3 y - 3 (- z)) z}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.1.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{x z + x y + (- 3 y + 3 z) z}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x z + x y - 3 y z + 3 z \cdot z}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.1.5.5

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.5.5.1

Déplacez $z$ .

$\frac{x z + x y - 3 y z + 3 (z \cdot z)}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.1.5.5.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$\frac{x z + x y - 3 y z + 3 z^{2}}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$\frac{x z + x y - 3 y z + 3 z^{2}}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$\frac{x z + x y - 3 y z + 3 z^{2}}{z + y} - \frac{2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x z + x y - 3 y z + 3 z^{2} - 2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$\frac{x z + x y - 3 y z + 3 z^{2} - 2 z}{z + y} = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x z + x y - 3 y z + 3 z^{2} - 2 z = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1.1

Ajoutez $3 y z$ aux deux côtés de l’équation.

$x z + x y + 3 z^{2} - 2 z = 3 y z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.3.1.2

Soustrayez $3 z^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x z + x y - 2 z = 3 y z - 3 z^{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.3.1.3

Ajoutez $2 z$ aux deux côtés de l’équation.

$x z + x y = 3 y z - 3 z^{2} + 2 z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x z + x y = 3 y z - 3 z^{2} + 2 z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x z + x y$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x z$ .

$x (z) + x y = 3 y z - 3 z^{2} + 2 z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$x (z) + x (y) = 3 y z - 3 z^{2} + 2 z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (z) + x (y)$ .

$x (z + y) = 3 y z - 3 z^{2} + 2 z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x (z + y) = 3 y z - 3 z^{2} + 2 z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $x (z + y) = 3 y z - 3 z^{2} + 2 z$ par $z + y$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $x (z + y) = 3 y z - 3 z^{2} + 2 z$ par $z + y$ .

$\frac{x (z + y)}{z + y} = \frac{3 y z}{z + y} + \frac{- 3 z^{2}}{z + y} + \frac{2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $z + y$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (z + y)}{z + y} = \frac{3 y z}{z + y} + \frac{- 3 z^{2}}{z + y} + \frac{2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3 y z}{z + y} + \frac{- 3 z^{2}}{z + y} + \frac{2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x = \frac{3 y z}{z + y} + \frac{- 3 z^{2}}{z + y} + \frac{2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x = \frac{3 y z}{z + y} + \frac{- 3 z^{2}}{z + y} + \frac{2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{3 y z}{z + y} - \frac{3 z^{2}}{z + y} + \frac{2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.3.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 y z - 3 z^{2}}{z + y} + \frac{2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.3.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 y z - 3 z^{2} + 2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.3.3.3.4

Factorisez $z$ à partir de $3 y z - 3 z^{2} + 2 z$ .

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Étape 5.3.3.3.4.1

Factorisez $z$ à partir de $3 y z$ .

$x = \frac{z (3 y) - 3 z^{2} + 2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.3.3.3.4.2

Factorisez $z$ à partir de $- 3 z^{2}$ .

$x = \frac{z (3 y) + z (- 3 z) + 2 z}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.3.3.3.4.3

Factorisez $z$ à partir de $2 z$ .

$x = \frac{z (3 y) + z (- 3 z) + z \cdot 2}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.3.3.3.4.4

Factorisez $z$ à partir de $z (3 y) + z (- 3 z)$ .

$x = \frac{z (3 y - 3 z) + z \cdot 2}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 5.3.3.3.4.5

Factorisez $z$ à partir de $z (3 y - 3 z) + z \cdot 2$ .

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 6.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, z + y, z + y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.1.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

$1$ Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

$2$ Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.1.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 6.1.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.1.5

Le facteur pour $z + y$ est $z + y$ lui-même.

$(z + y) = z + y$

$(z + y)$ se produit $1$ fois.

Étape 6.1.6

Le plus petit multiple commun de $z + y, z + y$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$z + y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$z + y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2

Multiplier chaque terme dans $y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$ par $z + y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.2.1

Multipliez chaque terme dans $y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} = - \frac{z - y}{z + y}$ par $z + y$ .

$y (z + y) - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} \cdot (z + y) = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y z + y \cdot y - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} \cdot (z + y) = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y z + y^{2} - \frac{2 (2 z - y) z}{z + y} \cdot (z + y) = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $z + y$ .

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Étape 6.2.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 (2 z - y) z}{z + y}$ dans le numérateur.

$y z + y^{2} + \frac{- 2 (2 z - y) z}{z + y} \cdot (z + y) = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y z + y^{2} + \frac{- 2 (2 z - y) z}{z + y} \cdot (z + y) = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y z + y^{2} - 2 (2 z - y) z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y z + y^{2} - 2 (2 z - y) z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y z + y^{2} + (- 2 (2 z) - 2 (- y)) z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y z + y^{2} + (- 4 z - 2 (- y)) z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y z + y^{2} + (- 4 z + 2 y) z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$y z + y^{2} - 4 z \cdot z + 2 y z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.2.1.8

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1.8.1

Déplacez $z$ .

$y z + y^{2} - 4 (z \cdot z) + 2 y z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.2.1.8.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$y z + y^{2} - 4 z^{2} + 2 y z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y z + y^{2} - 4 z^{2} + 2 y z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y z + y^{2} - 4 z^{2} + 2 y z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $y z$ et $2 y z$ .

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - \frac{z - y}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun de $z + y$ .

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Étape 6.2.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{z - y}{z + y}$ dans le numérateur.

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = \frac{- (z - y)}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = \frac{- (z - y)}{z + y} \cdot (z + y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - (z - y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - (z - y)$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - z + y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.3.3

Multipliez $- - y$ .

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Étape 6.2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - z + 1 y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.2.3.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - z + y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - z + y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - z + y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z = - z + y$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3

Résolvez l’équation.

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Étape 6.3.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z - y = - z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.2

Ajoutez $z$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 4 z^{2} + 3 y z - y + z = 0$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3 z - 1$ et $c = - 4 z^{2} + z$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- (3 z - 1) \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 4 z^{2} + z))}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5

Simplifiez

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Étape 6.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (3 z) + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.4

Réécrivez ${(3 z - 1)}^{2}$ comme $(3 z - 1) (3 z - 1)$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{(3 z - 1) (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.5

Développez $(3 z - 1) (3 z - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z - 1) - 1 (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.5.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.5.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z \cdot z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.6.1.2

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.5.1.6.1.2.1

Déplacez $z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (z \cdot z)) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.6.1.2.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z^{2}) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z^{2}) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.6.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.6.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.6.2

Soustrayez $3 z$ de $- 3 z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 (- 4 z^{2}) - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.9

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 + 16 z^{2} - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.10

Additionnez $9 z^{2}$ et $16 z^{2}$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{25 z^{2} - 6 z + 1 - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.11

Soustrayez $4 z$ de $- 6 z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{25 z^{2} - 10 z + 1}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.12

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.3.5.1.12.1

Réécrivez $25 z^{2}$ comme ${(5 z)}^{2}$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 10 z + 1}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.12.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 10 z + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.12.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 z = 2 \cdot (5 z) \cdot 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.12.4

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 2 \cdot (5 z) \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.12.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 5 z$ et $b = 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.1.13

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (3 z) + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.4

Réécrivez ${(3 z - 1)}^{2}$ comme $(3 z - 1) (3 z - 1)$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{(3 z - 1) (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.5

Développez $(3 z - 1) (3 z - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.6.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z - 1) - 1 (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.6.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.6.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z \cdot z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.6.1.2

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.6.1.6.1.2.1

Déplacez $z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (z \cdot z)) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.6.1.2.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z^{2}) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z^{2}) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.6.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.6.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.6.2

Soustrayez $3 z$ de $- 3 z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 (- 4 z^{2}) - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.9

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 + 16 z^{2} - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.10

Additionnez $9 z^{2}$ et $16 z^{2}$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{25 z^{2} - 6 z + 1 - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.11

Soustrayez $4 z$ de $- 6 z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{25 z^{2} - 10 z + 1}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.12

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.3.6.1.12.1

Réécrivez $25 z^{2}$ comme ${(5 z)}^{2}$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 10 z + 1}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.12.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 10 z + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.12.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 z = 2 \cdot (5 z) \cdot 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.12.4

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 2 \cdot (5 z) \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.12.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 5 z$ et $b = 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.1.13

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 + 5 z - 1}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.6.4.1

Additionnez $- 3 z$ et $5 z$ .

$y = \frac{2 z + 1 - 1}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.4.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$y = \frac{2 z + 0}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.4.3

Additionnez $2 z$ et $0$ .

$y = \frac{2 z}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{2 z}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.6.5.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 z}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.6.5.2

Divisez $z$ par $1$ .

$y = z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = z$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (3 z) + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(3 z - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.4

Réécrivez ${(3 z - 1)}^{2}$ comme $(3 z - 1) (3 z - 1)$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{(3 z - 1) (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.5

Développez $(3 z - 1) (3 z - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.7.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z - 1) - 1 (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z - 1) - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 z (3 z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.7.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.7.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z \cdot z) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.6.1.2

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.7.1.6.1.2.1

Déplacez $z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (z \cdot z)) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.6.1.2.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z^{2}) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 z^{2}) + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.6.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} + 3 z \cdot - 1 - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 1 (3 z) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.6.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 3 z - 3 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.6.2

Soustrayez $3 z$ de $- 3 z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 \cdot (- 4 z^{2} + z)}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 - 4 (- 4 z^{2}) - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.9

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{9 z^{2} - 6 z + 1 + 16 z^{2} - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.10

Additionnez $9 z^{2}$ et $16 z^{2}$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{25 z^{2} - 6 z + 1 - 4 z}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.11

Soustrayez $4 z$ de $- 6 z$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{25 z^{2} - 10 z + 1}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.12

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.3.7.1.12.1

Réécrivez $25 z^{2}$ comme ${(5 z)}^{2}$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 10 z + 1}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.12.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 10 z + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.12.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 z = 2 \cdot (5 z) \cdot 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.12.4

Réécrivez le polynôme.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z)}^{2} - 2 \cdot (5 z) \cdot 1 + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.12.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 5 z$ et $b = 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm \sqrt{{(5 z - 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.1.13

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2 \cdot 1}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 \pm (5 z - 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 - (5 z - 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.7.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 3 z + 1 - (5 z) + 1}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.4.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 - 5 z + 1}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 3 z + 1 - 5 z + 1}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.4.4

Soustrayez $5 z$ de $- 3 z$ .

$y = \frac{- 8 z + 1 + 1}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{- 8 z + 2}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.4.6

Factorisez $2$ à partir de $- 8 z + 2$ .

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Étape 6.3.7.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 z$ .

$y = \frac{2 (- 4 z) + 2}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.4.6.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{2 (- 4 z) + 2 (1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.4.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 4 z) + 2 (1)$ .

$y = \frac{2 (- 4 z + 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{2 (- 4 z + 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = \frac{2 (- 4 z + 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.7.5.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 (- 4 z + 1)}{2}$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.7.5.2

Divisez $- 4 z + 1$ par $1$ .

$y = - 4 z + 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = - 4 z + 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = - 4 z + 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 6.3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = z$

$y = - 4 z + 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = z$

$y = - 4 z + 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

$y = z$

$y = - 4 z + 1$

$a = - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}$

$x = \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}$

Étape 7

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(- \frac{2 (3 z - 1)}{z + y}, \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y}, z, z)$

Étape 8

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} a \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 (3 z - 1)}{z + y} \\ \frac{z (3 y - 3 z + 2)}{z + y} \\ z \\ z \end{array}]$