Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 2 e^{x} & - e^{- x} & e^{- 3 x} \\ - e^{x} & - e^{- x} & - 2 e^{- 3 x} \\ 3 e^{x} & 6 e^{- x} & 6 e^{- 3 x} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \cdot e^{- x} & \frac{4}{3} \cdot e^{- x} & \frac{1}{3} \cdot e^{- x} \\ 0 & e^{x} & \frac{1}{3} \cdot e^{x} \\ - \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} & - \frac{15}{9} \cdot e^{3 x} & - \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} \end{array}]$

Étape 1

Associez $\frac{2}{3}$ et $e^{- x}$ .

$[\begin{array}{c} 2 e^{x} & - e^{- x} & e^{- 3 x} \\ - e^{x} & - e^{- x} & - 2 e^{- 3 x} \\ 3 e^{x} & 6 e^{- x} & 6 e^{- 3 x} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{2 e^{- x}}{3} & \frac{4}{3} \cdot e^{- x} & \frac{1}{3} \cdot e^{- x} \\ 0 & e^{x} & \frac{1}{3} \cdot e^{x} \\ - \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} & - \frac{15}{9} \cdot e^{3 x} & - \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} \end{array}]$

Étape 2

Associez $\frac{4}{3}$ et $e^{- x}$ .

$[\begin{array}{c} 2 e^{x} & - e^{- x} & e^{- 3 x} \\ - e^{x} & - e^{- x} & - 2 e^{- 3 x} \\ 3 e^{x} & 6 e^{- x} & 6 e^{- 3 x} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{2 e^{- x}}{3} & \frac{4 e^{- x}}{3} & \frac{1}{3} \cdot e^{- x} \\ 0 & e^{x} & \frac{1}{3} \cdot e^{x} \\ - \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} & - \frac{15}{9} \cdot e^{3 x} & - \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} \end{array}]$

Étape 3

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{- x}$ .

$[\begin{array}{c} 2 e^{x} & - e^{- x} & e^{- 3 x} \\ - e^{x} & - e^{- x} & - 2 e^{- 3 x} \\ 3 e^{x} & 6 e^{- x} & 6 e^{- 3 x} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{2 e^{- x}}{3} & \frac{4 e^{- x}}{3} & \frac{e^{- x}}{3} \\ 0 & e^{x} & \frac{1}{3} \cdot e^{x} \\ - \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} & - \frac{15}{9} \cdot e^{3 x} & - \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} \end{array}]$

Étape 4

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{x}$ .

$[\begin{array}{c} 2 e^{x} & - e^{- x} & e^{- 3 x} \\ - e^{x} & - e^{- x} & - 2 e^{- 3 x} \\ 3 e^{x} & 6 e^{- x} & 6 e^{- 3 x} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{2 e^{- x}}{3} & \frac{4 e^{- x}}{3} & \frac{e^{- x}}{3} \\ 0 & e^{x} & \frac{e^{x}}{3} \\ - \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} & - \frac{15}{9} \cdot e^{3 x} & - \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} \end{array}]$

Étape 5

Associez $e^{3 x}$ et $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} 2 e^{x} & - e^{- x} & e^{- 3 x} \\ - e^{x} & - e^{- x} & - 2 e^{- 3 x} \\ 3 e^{x} & 6 e^{- x} & 6 e^{- 3 x} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{2 e^{- x}}{3} & \frac{4 e^{- x}}{3} & \frac{e^{- x}}{3} \\ 0 & e^{x} & \frac{e^{x}}{3} \\ - \frac{e^{3 x}}{3} & - \frac{15}{9} \cdot e^{3 x} & - \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} \end{array}]$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $15$ et $9$ .

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Étape 6.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$[\begin{array}{c} 2 e^{x} & - e^{- x} & e^{- 3 x} \\ - e^{x} & - e^{- x} & - 2 e^{- 3 x} \\ 3 e^{x} & 6 e^{- x} & 6 e^{- 3 x} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{2 e^{- x}}{3} & \frac{4 e^{- x}}{3} & \frac{e^{- x}}{3} \\ 0 & e^{x} & \frac{e^{x}}{3} \\ - \frac{e^{3 x}}{3} & - \frac{3 (5)}{9} \cdot e^{3 x} & - \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} \end{array}]$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$[\begin{array}{c} 2 e^{x} & - e^{- x} & e^{- 3 x} \\ - e^{x} & - e^{- x} & - 2 e^{- 3 x} \\ 3 e^{x} & 6 e^{- x} & 6 e^{- 3 x} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{2 e^{- x}}{3} & \frac{4 e^{- x}}{3} & \frac{e^{- x}}{3} \\ 0 & e^{x} & \frac{e^{x}}{3} \\ - \frac{e^{3 x}}{3} & - \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 3} \cdot e^{3 x} & - \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} \end{array}]$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} 2 e^{x} & - e^{- x} & e^{- 3 x} \\ - e^{x} & - e^{- x} & - 2 e^{- 3 x} \\ 3 e^{x} & 6 e^{- x} & 6 e^{- 3 x} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{2 e^{- x}}{3} & \frac{4 e^{- x}}{3} & \frac{e^{- x}}{3} \\ 0 & e^{x} & \frac{e^{x}}{3} \\ - \frac{e^{3 x}}{3} & - \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 3} \cdot e^{3 x} & - \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} \end{array}]$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} 2 e^{x} & - e^{- x} & e^{- 3 x} \\ - e^{x} & - e^{- x} & - 2 e^{- 3 x} \\ 3 e^{x} & 6 e^{- x} & 6 e^{- 3 x} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{2 e^{- x}}{3} & \frac{4 e^{- x}}{3} & \frac{e^{- x}}{3} \\ 0 & e^{x} & \frac{e^{x}}{3} \\ - \frac{e^{3 x}}{3} & - \frac{5}{3} \cdot e^{3 x} & - \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} \end{array}]$

Étape 7

Associez $e^{3 x}$ et $\frac{5}{3}$ .

$[\begin{array}{c} 2 e^{x} & - e^{- x} & e^{- 3 x} \\ - e^{x} & - e^{- x} & - 2 e^{- 3 x} \\ 3 e^{x} & 6 e^{- x} & 6 e^{- 3 x} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{2 e^{- x}}{3} & \frac{4 e^{- x}}{3} & \frac{e^{- x}}{3} \\ 0 & e^{x} & \frac{e^{x}}{3} \\ - \frac{e^{3 x}}{3} & - \frac{e^{3 x} \cdot 5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} \end{array}]$

Étape 8

Déplacez $5$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$[\begin{array}{c} 2 e^{x} & - e^{- x} & e^{- 3 x} \\ - e^{x} & - e^{- x} & - 2 e^{- 3 x} \\ 3 e^{x} & 6 e^{- x} & 6 e^{- 3 x} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{2 e^{- x}}{3} & \frac{4 e^{- x}}{3} & \frac{e^{- x}}{3} \\ 0 & e^{x} & \frac{e^{x}}{3} \\ - \frac{e^{3 x}}{3} & - \frac{5 \cdot e^{3 x}}{3} & - \frac{1}{3} \cdot e^{3 x} \end{array}]$

Étape 9

Associez $e^{3 x}$ et $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} 2 e^{x} & - e^{- x} & e^{- 3 x} \\ - e^{x} & - e^{- x} & - 2 e^{- 3 x} \\ 3 e^{x} & 6 e^{- x} & 6 e^{- 3 x} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{2 e^{- x}}{3} & \frac{4 e^{- x}}{3} & \frac{e^{- x}}{3} \\ 0 & e^{x} & \frac{e^{x}}{3} \\ - \frac{e^{3 x}}{3} & - \frac{5 e^{3 x}}{3} & - \frac{e^{3 x}}{3} \end{array}]$

Étape 10

Multipliez $[\begin{array}{c} 2 e^{x} & - e^{- x} & e^{- 3 x} \\ - e^{x} & - e^{- x} & - 2 e^{- 3 x} \\ 3 e^{x} & 6 e^{- x} & 6 e^{- 3 x} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{2 e^{- x}}{3} & \frac{4 e^{- x}}{3} & \frac{e^{- x}}{3} \\ 0 & e^{x} & \frac{e^{x}}{3} \\ - \frac{e^{3 x}}{3} & - \frac{5 e^{3 x}}{3} & - \frac{e^{3 x}}{3} \end{array}]$ .

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Étape 10.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 3$ .

Étape 10.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 2 e^{x} \frac{2 e^{- x}}{3} - e^{- x} \cdot 0 + e^{- 3 x} (- \frac{e^{3 x}}{3}) & 2 e^{x} \frac{4 e^{- x}}{3} - e^{- x} e^{x} + e^{- 3 x} (- \frac{5 e^{3 x}}{3}) & 2 e^{x} \frac{e^{- x}}{3} - e^{- x} \frac{e^{x}}{3} + e^{- 3 x} (- \frac{e^{3 x}}{3}) \\ - e^{x} \frac{2 e^{- x}}{3} - e^{- x} \cdot 0 - 2 e^{- 3 x} (- \frac{e^{3 x}}{3}) & - e^{x} \frac{4 e^{- x}}{3} - e^{- x} e^{x} - 2 e^{- 3 x} (- \frac{5 e^{3 x}}{3}) & - e^{x} \frac{e^{- x}}{3} - e^{- x} \frac{e^{x}}{3} - 2 e^{- 3 x} (- \frac{e^{3 x}}{3}) \\ 3 e^{x} \frac{2 e^{- x}}{3} + 6 e^{- x} \cdot 0 + 6 e^{- 3 x} (- \frac{e^{3 x}}{3}) & 3 e^{x} \frac{4 e^{- x}}{3} + 6 e^{- x} e^{x} + 6 e^{- 3 x} (- \frac{5 e^{3 x}}{3}) & 3 e^{x} \frac{e^{- x}}{3} + 6 e^{- x} \frac{e^{x}}{3} + 6 e^{- 3 x} (- \frac{e^{3 x}}{3}) \end{array}]$

Étape 10.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$