Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 1 \\ 2 & 2 & - 5 \\ - 1 & - 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 0 x - y + 1 z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Étape 1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} - y + z \\ 2 x + 2 y - 5 z \\ - x - y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 15 \\ 23 \end{array}]$

Étape 2

L’équation de matrice peut être écrite comme un ensemble d’équations.

$- y + z = 8$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Étape 3

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$z = 8 + y$

$2 x + 2 y - 5 z = 15$

$- x - y + 3 z = 23$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $z$ par $8 + y$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $2 x + 2 y - 5 z = 15$ par $8 + y$ .

$2 x + 2 y - 5 (8 + y) = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $2 x + 2 y - 5 (8 + y)$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 2 y - 5 \cdot 8 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x + 2 y - 40 - 5 y = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Étape 4.2.1.2

Soustrayez $5 y$ de $2 y$ .

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 3 z = 23$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $- x - y + 3 z = 23$ par $8 + y$ .

$- x - y + 3 (8 + y) = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Étape 4.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.1

Simplifiez $- x - y + 3 (8 + y)$ .

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Étape 4.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x - y + 3 \cdot 8 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Étape 4.4.1.1.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x - y + 24 + 3 y = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Étape 4.4.1.2

Additionnez $- y$ et $3 y$ .

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$z = 8 + y$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $8$ et $y$ .

$z = y + 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Étape 6

Résolvez $y$ dans $z = y + 8$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $y + 8 = z$ .

$y + 8 = z$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Étape 6.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$y = z - 8$

$- x + 2 y + 24 = 23$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $z - 8$ dans chaque équation.

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Étape 7.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $- x + 2 y + 24 = 23$ par $z - 8$ .

$- x + 2 (z - 8) + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Simplifiez $- x + 2 (z - 8) + 24$ .

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Étape 7.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x + 2 z + 2 \cdot - 8 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Étape 7.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z - 16 + 24 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Étape 7.2.1.2

Additionnez $- 16$ et $24$ .

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 y - 40 = 15$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $2 x - 3 y - 40 = 15$ par $z - 8$ .

$2 x - 3 (z - 8) - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 7.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.1

Simplifiez $2 x - 3 (z - 8) - 40$ .

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Étape 7.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 3 z - 3 \cdot - 8 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 7.4.1.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 8$ .

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z + 24 - 40 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 7.4.1.2

Soustrayez $40$ de $24$ .

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x - 3 z - 16 = 15$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $2 x - 3 z - 16 = 15$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.1.1

Ajoutez $3 z$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x - 16 = 15 + 3 z$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 8.1.2

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 15 + 3 z + 16$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 8.1.3

Additionnez $15$ et $16$ .

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$2 x = 3 z + 31$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3 z + 31$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3 z + 31$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$- x + 2 z + 8 = 23$

$y = z - 8$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 9.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $- x + 2 z + 8 = 23$ par $\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ .

$- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Simplifiez $- (\frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}) + 2 z + 8$ .

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Étape 9.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 z}{2} - \frac{31}{2} + 2 z + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 9.2.1.2

Pour écrire $2 z$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + 2 z \cdot \frac{2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 9.2.1.3

Associez $2 z$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 z}{2} + \frac{2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 9.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 z + 2 z \cdot 2}{2} - \frac{31}{2} + 8 = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 9.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 + \frac{- 3 z + 2 z \cdot 2 - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 9.2.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$8 + \frac{- 3 z + 4 z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 9.2.1.7

Additionnez $- 3 z$ et $4 z$ .

$8 + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 9.2.1.8

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 9.2.1.9

Simplifiez les termes.

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Étape 9.2.1.9.1

Associez $8$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 \cdot 2}{2} + \frac{z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 9.2.1.9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{8 \cdot 2 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 9.2.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1.10.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{16 + z - 31}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 9.2.1.10.2

Soustrayez $31$ de $16$ .

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$\frac{z - 15}{2} = 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 10

Résolvez $z$ dans $\frac{z - 15}{2} = 23$ .

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Étape 10.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 10.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{z - 15}{2}) = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 10.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 2 \cdot 23$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 10.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Multipliez $2$ par $23$ .

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z - 15 = 46$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 10.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $z$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Ajoutez $15$ aux deux côtés de l’équation.

$z = 46 + 15$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 10.3.2

Additionnez $46$ et $15$ .

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

$z = 61$

$x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$

$y = z - 8$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $z$ par $61$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $x = \frac{3 z}{2} + \frac{31}{2}$ par $61$ .

$x = \frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez $\frac{3 (61)}{2} + \frac{31}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 (61) + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Étape 11.2.1.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.2.1

Multipliez $3$ par $61$ .

$x = \frac{183 + 31}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Étape 11.2.1.2.2

Additionnez $183$ et $31$ .

$x = \frac{214}{2}$

$z = 61$

$y = z - 8$

Étape 11.2.1.2.3

Divisez $214$ par $2$ .

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

$x = 107$

$z = 61$

$y = z - 8$

Étape 11.3

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $y = z - 8$ par $61$ .

$y = (61) - 8$

$x = 107$

$z = 61$

Étape 11.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.1

Soustrayez $8$ de $61$ .

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

$y = 53$

$x = 107$

$z = 61$

Étape 12

Indiquez toutes les solutions.

$y = 53, x = 107, z = 61$