Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & - 4 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ 3 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} - 3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & - 4 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} - 3 x + 1 y + 2 z \\ 4 x + 2 y - 4 z \\ 0 x + 1 y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ 3 \end{array}]$

Étape 1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} - 3 x + y + 2 z \\ 4 x + 2 y - 4 z \\ y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ 3 \end{array}]$

Étape 2

L’équation de matrice peut être écrite comme un ensemble d’équations.

$- 3 x + y + 2 z = 5$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$y + 2 z = 5 + 3 x$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

Étape 3.2

Soustrayez $2 z$ des deux côtés de l’équation.

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $5 + 3 x - 2 z$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $4 x + 2 y - 4 z = - 4$ par $5 + 3 x - 2 z$ .

$4 x + 2 (5 + 3 x - 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $4 x + 2 (5 + 3 x - 2 z) - 4 z$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 2 \cdot 5 + 2 (3 x) + 2 (- 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Étape 4.2.1.1.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1.1.2.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$4 x + 10 + 2 (3 x) + 2 (- 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Étape 4.2.1.1.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$4 x + 10 + 6 x + 2 (- 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Étape 4.2.1.1.2.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$4 x + 10 + 6 x - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$4 x + 10 + 6 x - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$4 x + 10 + 6 x - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.2.1.2.1

Additionnez $4 x$ et $6 x$ .

$10 x + 10 - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Étape 4.2.1.2.2

Soustrayez $4 z$ de $- 4 z$ .

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $y + 3 z = 3$ par $5 + 3 x - 2 z$ .

$(5 + 3 x - 2 z) + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Étape 4.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.1

Additionnez $- 2 z$ et $3 z$ .

$5 + 3 x + z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$5 + 3 x + z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$5 + 3 x + z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $z$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$3 x + z = 3 - 5$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Étape 5.2

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$z = 3 - 5 - 3 x$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Étape 5.3

Soustrayez $5$ de $3$ .

$z = - 2 - 3 x$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$z = - 2 - 3 x$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $z$ par $- 2 - 3 x$ dans chaque équation.

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Étape 6.1

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $10 x + 10 - 8 z = - 4$ par $- 2 - 3 x$ .

$10 x + 10 - 8 (- 2 - 3 x) = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez $10 x + 10 - 8 (- 2 - 3 x)$ .

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 x + 10 - 8 \cdot - 2 - 8 (- 3 x) = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Étape 6.2.1.1.2

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$10 x + 10 + 16 - 8 (- 3 x) = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Étape 6.2.1.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 8$ .

$10 x + 10 + 16 + 24 x = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$10 x + 10 + 16 + 24 x = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Étape 6.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.2.1

Additionnez $10 x$ et $24 x$ .

$34 x + 10 + 16 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Étape 6.2.1.2.2

Additionnez $10$ et $16$ .

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $z$ dans $y = 5 + 3 x - 2 z$ par $- 2 - 3 x$ .

$y = 5 + 3 x - 2 (- 2 - 3 x)$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 6.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Simplifiez $5 + 3 x - 2 (- 2 - 3 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 5 + 3 x - 2 \cdot - 2 - 2 (- 3 x)$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 6.4.1.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y = 5 + 3 x + 4 - 2 (- 3 x)$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 6.4.1.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$y = 5 + 3 x + 4 + 6 x$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x + 4 + 6 x$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 6.4.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.2.1

Additionnez $5$ et $4$ .

$y = 3 x + 9 + 6 x$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 6.4.1.2.2

Additionnez $3 x$ et $6 x$ .

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $34 x + 26 = - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Soustrayez $26$ des deux côtés de l’équation.

$34 x = - 4 - 26$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 7.1.2

Soustrayez $26$ de $- 4$ .

$34 x = - 30$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$34 x = - 30$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $34 x = - 30$ par $34$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $34 x = - 30$ par $34$ .

$\frac{34 x}{34} = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $34$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{34 x}{34} = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 30$ et $34$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 30$ .

$x = \frac{2 (- 15)}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 7.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$x = \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 7.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 7.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 7.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- \frac{15}{17}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = 9 x + 9$ par $- \frac{15}{17}$ .

$y = 9 (- \frac{15}{17}) + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez $9 (- \frac{15}{17}) + 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1.1

Multipliez $9 (- \frac{15}{17})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$y = - 9 (\frac{15}{17}) + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 8.2.1.1.1.2

Associez $- 9$ et $\frac{15}{17}$ .

$y = \frac{- 9 \cdot 15}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 8.2.1.1.1.3

Multipliez $- 9$ par $15$ .

$y = \frac{- 135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{- 135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 8.2.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = - \frac{135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 8.2.1.2

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{17}{17}$ .

$y = - \frac{135}{17} + 9 \cdot \frac{17}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 8.2.1.3

Associez $9$ et $\frac{17}{17}$ .

$y = - \frac{135}{17} + \frac{9 \cdot 17}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 8.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 135 + 9 \cdot 17}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 8.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.5.1

Multipliez $9$ par $17$ .

$y = \frac{- 135 + 153}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 8.2.1.5.2

Additionnez $- 135$ et $153$ .

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Étape 8.3

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $z = - 2 - 3 x$ par $- \frac{15}{17}$ .

$z = - 2 - 3 (- \frac{15}{17})$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Étape 8.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Simplifiez $- 2 - 3 (- \frac{15}{17})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1.1

Multipliez $- 3 (- \frac{15}{17})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$z = - 2 + 3 (\frac{15}{17})$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Étape 8.4.1.1.2

Associez $3$ et $\frac{15}{17}$ .

$z = - 2 + \frac{3 \cdot 15}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Étape 8.4.1.1.3

Multipliez $3$ par $15$ .

$z = - 2 + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Étape 8.4.1.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{17}{17}$ .

$z = - 2 \cdot \frac{17}{17} + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Étape 8.4.1.3

Associez $- 2$ et $\frac{17}{17}$ .

$z = \frac{- 2 \cdot 17}{17} + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Étape 8.4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$z = \frac{- 2 \cdot 17 + 45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Étape 8.4.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $17$ .

$z = \frac{- 34 + 45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Étape 8.4.1.5.2

Additionnez $- 34$ et $45$ .

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Étape 9

Indiquez toutes les solutions.

$z = \frac{11}{17}, y = \frac{18}{17}, x = - \frac{15}{17}$