Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] \cdot ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = 1 [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Étape 1.2

Multipliez $1$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \cdot 0 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot - 3 & 1 \cdot 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Étape 1.3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.3.1

Multipliez $0$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot - 3 & 1 \cdot 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Étape 1.3.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 \cdot - 3 & 1 \cdot 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \cdot 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Étape 1.3.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array}] \cdot 1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Étape 1.4

Déplacez $1$ à gauche de $[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = 1 \cdot [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Étape 1.5

Multipliez $1$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \cdot 0 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot - 3 & 1 \cdot 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Étape 1.6

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.6.1

Multipliez $0$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot - 3 & 1 \cdot 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Étape 1.6.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 \cdot - 3 & 1 \cdot 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Étape 1.6.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \cdot 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Étape 1.6.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Étape 1.7

Multipliez $[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

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Étape 1.7.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Étape 1.7.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 x + 1 y \\ - 3 x + 1 y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Étape 1.7.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ - 3 x + y \end{array}] (1 [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Étape 1.8

Multipliez $1$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ - 3 x + y \end{array}] [\begin{array}{c} 1 x \\ 1 y \end{array}]$

Étape 1.9

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.9.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ - 3 x + y \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ 1 y \end{array}]$

Étape 1.9.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 21 \\ - 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ - 3 x + y \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$

Étape 2

L’équation de matrice peut être écrite comme un ensemble d’équations.

$21 = y$

$- 9 = - 3 x + y$

Étape 3

Réécrivez l’équation comme $y = 21$ .

$y = 21$

$- 9 = - 3 x + y$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $21$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $- 9 = - 3 x + y$ par $21$ .

$- 9 = - 3 x + 21$

$y = 21$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$- 9 = - 3 x + 21$

$y = 21$

$- 9 = - 3 x + 21$

$y = 21$

$- 9 = - 3 x + 21$

$y = 21$

Étape 5

Résolvez $x$ dans $- 9 = - 3 x + 21$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 x + 21 = - 9$ .

$- 3 x + 21 = - 9$

$y = 21$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $21$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x = - 9 - 21$

$y = 21$

Étape 5.2.2

Soustrayez $21$ de $- 9$ .

$- 3 x = - 30$

$y = 21$

$- 3 x = - 30$

$y = 21$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 30$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 30$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 30}{- 3}$

$y = 21$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 30}{- 3}$

$y = 21$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 30}{- 3}$

$y = 21$

$x = \frac{- 30}{- 3}$

$y = 21$

$x = \frac{- 30}{- 3}$

$y = 21$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $- 30$ par $- 3$ .

$x = 10$

$y = 21$

$x = 10$

$y = 21$

$x = 10$

$y = 21$

$x = 10$

$y = 21$

Étape 6

Résolvez le système d’équations.

$x = 10 y = 21$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$x = 10, y = 21$