Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ v \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ v \\ z \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $4 \times 4$ and the second matrix is $4 \times 1$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 1 x + 1 y + 0 v + 0 z \\ 0 x + 0 y + 1 v + 1 z \\ 1 x + 0 y + 1 v + 0 z \\ 0 x + 1 y + 0 v + 1 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Étape 1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

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Étape 1.3.1

Additionnez $0$ et $y$ .

$[\begin{array}{c} x + y \\ v + z \\ x + v \\ y + 0 + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Étape 1.3.2

Additionnez $y$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} x + y \\ v + z \\ x + v \\ y + z \end{array}] = [\begin{array}{c} 110 \\ 160 \\ 140 \\ 130 \end{array}]$

Étape 2

L’équation de matrice peut être écrite comme un ensemble d’équations.

$x + y = 110$

$v + z = 160$

$x + v = 140$

$y + z = 130$

Étape 3

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$x + v = 140$

$y + z = 130$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $110 - y$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x + v = 140$ par $110 - y$ .

$(110 - y) + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$110 - y + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

$110 - y + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

$110 - y + v = 140$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $v$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $110$ des deux côtés de l’équation.

$- y + v = 140 - 110$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Étape 5.2

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$v = 140 - 110 + y$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Étape 5.3

Soustrayez $110$ de $140$ .

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$v + z = 160$

$y + z = 130$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $30 + y$ dans chaque équation.

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Étape 6.1

Remplacez toutes les occurrences de $v$ dans $v + z = 160$ par $30 + y$ .

$(30 + y) + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Supprimez les parenthèses.

$30 + y + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$30 + y + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$30 + y + z = 160$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Soustrayez $30$ des deux côtés de l’équation.

$y + z = 160 - 30$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Étape 7.2

Soustrayez $z$ des deux côtés de l’équation.

$y = 160 - 30 - z$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Étape 7.3

Soustrayez $30$ de $160$ .

$y = 130 - z$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$y = 130 - z$

$v = 30 + y$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $130 - z$ dans chaque équation.

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Étape 8.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $v = 30 + y$ par $130 - z$ .

$v = 30 + 130 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Étape 8.2

Simplifiez $v = 30 + 130 - z$ .

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$v = 30 + 130 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$v = 30 + 130 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $30$ et $130$ .

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$x = 110 - y$

$y + z = 130$

Étape 8.3

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 110 - y$ par $130 - z$ .

$x = 110 - (130 - z)$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Étape 8.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.1

Simplifiez $110 - (130 - z)$ .

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Étape 8.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = 110 - 1 \cdot 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Étape 8.4.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $130$ .

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Étape 8.4.1.1.3

Multipliez $- - z$ .

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Étape 8.4.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 110 - 130 + 1 z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Étape 8.4.1.1.3.2

Multipliez $z$ par $1$ .

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = 110 - 130 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Étape 8.4.1.2

Soustrayez $130$ de $110$ .

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$y + z = 130$

Étape 8.5

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $y + z = 130$ par $130 - z$ .

$(130 - z) + z = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

Étape 8.6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.6.1

Associez les termes opposés dans $(130 - z) + z$ .

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Étape 8.6.1.1

Additionnez $- z$ et $z$ .

$130 + 0 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

Étape 8.6.1.2

Additionnez $130$ et $0$ .

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

$130 = 130$

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$

Étape 9

Supprimez du système toutes les équations qui sont toujours vraies.

$x = - 20 + z$

$v = 160 - z$

$y = 130 - z$