Algèbre linéaire Exemples

${[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array}]}^{4}$

Étape 1

Pour évaluer une matrice carrée à une puissance entière positive $n$ , multipliez $n$ copies de la matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array}]$

Étape 2

Multipliez $[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Deux matrices peuvent être multipliées si et seulement si le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Dans ce cas, la première matrice est $2 \times 2$ et la deuxième matrice est $2 \times 2$ .

Étape 2.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 2 \cdot 2 + 3 \cdot 4 & 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 \\ 4 \cdot 2 + 1 \cdot 4 & 4 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array}]$

Étape 2.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 16 & 9 \\ 12 & 13 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Multipliez $[\begin{array}{c} 16 & 9 \\ 12 & 13 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array}]$ .

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Étape 3.1

Étape 3.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 16 \cdot 2 + 9 \cdot 4 & 16 \cdot 3 + 9 \cdot 1 \\ 12 \cdot 2 + 13 \cdot 4 & 12 \cdot 3 + 13 \cdot 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array}]$

Étape 3.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 68 & 57 \\ 76 & 49 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array}]$

Étape 4

Multipliez $[\begin{array}{c} 68 & 57 \\ 76 & 49 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{array}]$ .

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Étape 4.1

Étape 4.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 68 \cdot 2 + 57 \cdot 4 & 68 \cdot 3 + 57 \cdot 1 \\ 76 \cdot 2 + 49 \cdot 4 & 76 \cdot 3 + 49 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 364 & 261 \\ 348 & 277 \end{array}]$