Algèbre linéaire Exemples

$(- \frac{1}{3}) [\begin{array}{c} - 5 \\ 7 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + (\frac{1}{2}) [\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez $- \frac{1}{3}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 5 \\ - \frac{1}{3} \cdot 7 \\ - \frac{1}{3} \cdot 1 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 \end{array}] + (\frac{1}{2}) [\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.2.1

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot - 5$ .

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Étape 1.2.1.1

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 5 (\frac{1}{3}) \\ - \frac{1}{3} \cdot 7 \\ - \frac{1}{3} \cdot 1 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 \end{array}] + (\frac{1}{2}) [\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 1.2.1.2

Associez $5$ et $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{1}{3} \cdot 7 \\ - \frac{1}{3} \cdot 1 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 \end{array}] + (\frac{1}{2}) [\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 1.2.2

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot 7$ .

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - 7 (\frac{1}{3}) \\ - \frac{1}{3} \cdot 1 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 \end{array}] + (\frac{1}{2}) [\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 1.2.2.2

Associez $- 7$ et $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ \frac{- 7}{3} \\ - \frac{1}{3} \cdot 1 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 \end{array}] + (\frac{1}{2}) [\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{3} \\ - \frac{1}{3} \cdot 1 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 \end{array}] + (\frac{1}{2}) [\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{3} \\ - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 \end{array}] + (\frac{1}{2}) [\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 1.2.5

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{3} \\ - \frac{1}{3} \\ 0 (\frac{1}{3}) \end{array}] + (\frac{1}{2}) [\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{3} \\ - \frac{1}{3} \\ 0 \end{array}] + (\frac{1}{2}) [\begin{array}{c} - 2 \\ - 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{3} \\ - \frac{1}{3} \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ \frac{1}{2} \cdot - 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 0 \\ \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 1.4

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{3} \\ - \frac{1}{3} \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1)) \\ \frac{1}{2} \cdot - 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 0 \\ \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 1.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{3} \\ - \frac{1}{3} \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{1}{2} \cdot - 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 0 \\ \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 1.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{3} \\ - \frac{1}{3} \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 1 \\ \frac{1}{2} \cdot - 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 0 \\ \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{3} \\ - \frac{1}{3} \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 1 \\ \frac{1}{2} \cdot (2 (- 2)) \\ \frac{1}{2} \cdot 0 \\ \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{3} \\ - \frac{1}{3} \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 1 \\ \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 2) \\ \frac{1}{2} \cdot 0 \\ \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{3} \\ - \frac{1}{3} \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ \frac{1}{2} \cdot 0 \\ \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 1.4.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{3} \\ - \frac{1}{3} \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 1.4.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{3} \\ - \frac{1}{3} \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 1 \\ - 2 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} - 1 \\ - \frac{7}{3} - 2 \\ - \frac{1}{3} + 0 \\ 0 + \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 3

Simplifiez chaque élément.

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Étape 3.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3} \\ - \frac{7}{3} - 2 \\ - \frac{1}{3} + 0 \\ 0 + \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 3.2

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} \\ - \frac{7}{3} - 2 \\ - \frac{1}{3} + 0 \\ 0 + \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{5 - 1 \cdot 3}{3} \\ - \frac{7}{3} - 2 \\ - \frac{1}{3} + 0 \\ 0 + \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5 - 3}{3} \\ - \frac{7}{3} - 2 \\ - \frac{1}{3} + 0 \\ 0 + \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 3.4.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ - \frac{7}{3} - 2 \\ - \frac{1}{3} + 0 \\ 0 + \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 3.5

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ - \frac{7}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3} \\ - \frac{1}{3} + 0 \\ 0 + \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 3.6

Associez $- 2$ et $\frac{3}{3}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ - \frac{7}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} \\ - \frac{1}{3} + 0 \\ 0 + \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ \frac{- 7 - 2 \cdot 3}{3} \\ - \frac{1}{3} + 0 \\ 0 + \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ \frac{- 7 - 6}{3} \\ - \frac{1}{3} + 0 \\ 0 + \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 3.8.2

Soustrayez $6$ de $- 7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ \frac{- 13}{3} \\ - \frac{1}{3} + 0 \\ 0 + \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ - \frac{13}{3} \\ - \frac{1}{3} + 0 \\ 0 + \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 3.10

Additionnez $- \frac{1}{3}$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ - \frac{13}{3} \\ - \frac{1}{3} \\ 0 + \frac{1}{2} \end{array}]$

Étape 3.11

Additionnez $0$ et $\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ - \frac{13}{3} \\ - \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} \end{array}]$