Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] + [\begin{array}{c} - 19 \\ 11 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 43 \\ - 5 \end{array}]$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Multipliez $[\begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ - 2 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}]$ .

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Étape 1.1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Étape 1.1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} - 2 a - 5 b \\ - 2 a - b \end{array}] + [\begin{array}{c} - 19 \\ 11 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 43 \\ - 5 \end{array}]$

Étape 1.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} - 2 a - 5 b - 19 \\ - 2 a - b + 11 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 43 \\ - 5 \end{array}]$

Étape 2

L’équation de matrice peut être écrite comme un ensemble d’équations.

$- 2 a - 5 b - 19 = - 43$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Étape 3

Résolvez $a$ dans $- 2 a - 5 b - 19 = - 43$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1.1

Ajoutez $5 b$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 a - 19 = - 43 + 5 b$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Étape 3.1.2

Ajoutez $19$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 a = - 43 + 5 b + 19$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Étape 3.1.3

Additionnez $- 43$ et $19$ .

$- 2 a = 5 b - 24$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

$- 2 a = 5 b - 24$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- 2 a = 5 b - 24$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 a = 5 b - 24$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 a}{- 2} = \frac{5 b}{- 2} + \frac{- 24}{- 2}$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 a}{- 2} = \frac{5 b}{- 2} + \frac{- 24}{- 2}$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{5 b}{- 2} + \frac{- 24}{- 2}$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

$a = \frac{5 b}{- 2} + \frac{- 24}{- 2}$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

$a = \frac{5 b}{- 2} + \frac{- 24}{- 2}$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{5 b}{2} + \frac{- 24}{- 2}$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Étape 3.2.3.1.2

Divisez $- 24$ par $- 2$ .

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$- 2 a - b + 11 = - 5$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $a$ par $- \frac{5 b}{2} + 12$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $a$ dans $- 2 a - b + 11 = - 5$ par $- \frac{5 b}{2} + 12$ .

$- 2 (- \frac{5 b}{2} + 12) - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{5 b}{2} + 12) - b + 11$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (- \frac{5 b}{2}) - 2 \cdot 12 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5 b}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- 5 b}{2} - 2 \cdot 12 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Étape 4.2.1.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) (\frac{- 5 b}{2}) - 2 \cdot 12 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Étape 4.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot (- 1 \frac{- 5 b}{2}) - 2 \cdot 12 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Étape 4.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 (- 5 b) - 2 \cdot 12 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$- 1 (- 5 b) - 2 \cdot 12 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Étape 4.2.1.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$5 b - 2 \cdot 12 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Étape 4.2.1.1.4

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$5 b - 24 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$5 b - 24 - b + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.2.1.2.1

Soustrayez $b$ de $5 b$ .

$4 b - 24 + 11 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Étape 4.2.1.2.2

Additionnez $- 24$ et $11$ .

$4 b - 13 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$4 b - 13 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$4 b - 13 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$4 b - 13 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$4 b - 13 = - 5$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Étape 5

Résolvez $b$ dans $4 b - 13 = - 5$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Ajoutez $13$ aux deux côtés de l’équation.

$4 b = - 5 + 13$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Étape 5.1.2

Additionnez $- 5$ et $13$ .

$4 b = 8$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$4 b = 8$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $4 b = 8$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 b = 8$ par $4$ .

$\frac{4 b}{4} = \frac{8}{4}$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 b}{4} = \frac{8}{4}$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{8}{4}$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$b = \frac{8}{4}$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$b = \frac{8}{4}$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Divisez $8$ par $4$ .

$b = 2$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$b = 2$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$b = 2$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

$b = 2$

$a = - \frac{5 b}{2} + 12$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $b$ par $2$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez toutes les occurrences de $b$ dans $a = - \frac{5 b}{2} + 12$ par $2$ .

$a = - \frac{5 (2)}{2} + 12$

$b = 2$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

Simplifiez $- \frac{5 (2)}{2} + 12$ .

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$a = - \frac{5 \cdot 2}{2} + 12$

$b = 2$

Étape 6.2.1.1.1.2

Divisez $5$ par $1$ .

$a = - 1 \cdot 5 + 12$

$b = 2$

$a = - 1 \cdot 5 + 12$

$b = 2$

Étape 6.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$a = - 5 + 12$

$b = 2$

$a = - 5 + 12$

$b = 2$

Étape 6.2.1.2

Additionnez $- 5$ et $12$ .

$a = 7$

$b = 2$

$a = 7$

$b = 2$

$a = 7$

$b = 2$

$a = 7$

$b = 2$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$a = 7, b = 2$