Algèbre linéaire Exemples

$x + y - 2 z = 3$ , $2 x + 3 y + z = 13$ , $7 x + 9 y - 4 z = 35$

Étape 1

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 13 \\ 7 & 9 & - 4 & 35 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 2 & 13 - 2 \cdot 3 \\ 7 & 9 & - 4 & 35 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 7 & 9 & - 4 & 35 \end{array}]$

Étape 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 9 - 7 \cdot 1 & - 4 - 7 \cdot - 2 & 35 - 7 \cdot 3 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 0 & 2 & 10 & 14 \end{array}]$

Étape 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 10 - 2 \cdot 5 & 14 - 2 \cdot 7 \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & - 2 - 5 & 3 - 7 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2.4.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 7 & - 4 \\ 0 & 1 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x - 7 z = - 4$

$y + 5 z = 7$

Étape 4

Ajoutez $7 z$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - 4 + 7 z$

$y + 5 z = 7$

Étape 5

Soustrayez $5 z$ des deux côtés de l’équation.

$y = 7 - 5 z$

$x = - 4 + 7 z$

Étape 6

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(- 4 + 7 z, 7 - 5 z, z)$

Étape 7

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 + 7 z \\ 7 - 5 z \\ z \end{array}]$