Algèbre linéaire Exemples

$4 x + 2 = 5 y - 3$ , $y = 3 x - 1$

Étape 1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = 5 y - 3 - 2, y = 3 x - 1$

Étape 2

Soustrayez $5 y$ des deux côtés de l’équation.

$4 x - 5 y = - 3 - 2, y = 3 x - 1$

Étape 3

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x - 5 y = - 3 - 2, y - 3 x = - 1$

Étape 4

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & - 5 & - 3 - 2 \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 5

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 5.1

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 5 & - 5 \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 5.2

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{4}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

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Étape 5.2.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{4}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 5}{4} & \frac{- 5}{4} \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 5.2.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 5.3

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 5.3.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 (- \frac{5}{4}) & - 1 + 3 (- \frac{5}{4}) \end{array}]$

Étape 5.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ 0 & - \frac{11}{4} & - \frac{19}{4} \end{array}]$

Étape 5.4

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{4}{11}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{4}{11}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - \frac{4}{11} \cdot 0 & - \frac{4}{11} (- \frac{11}{4}) & - \frac{4}{11} (- \frac{19}{4}) \end{array}]$

Étape 5.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Étape 5.5

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 5.5.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{4} \cdot 0 & - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot 1 & - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{19}{11} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Étape 5.5.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{10}{11} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Étape 6

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x = \frac{10}{11}$

$y = \frac{19}{11}$

Étape 7

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(\frac{10}{11}, \frac{19}{11})$

Étape 8

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{10}{11} \\ \frac{19}{11} \end{array}]$