Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 2 - 2 i \\ 4 + 4 i \\ 4 - 1 i \end{array}]$

Étape 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 2 - 2 i |}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 + 4}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.4

Additionnez $4$ et $4$ .

$\sqrt{{\sqrt{8}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.5

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 (2)}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.7

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.9

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.9.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{4 \cdot 2 + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.10

Multipliez $4$ par $2$ .

$\sqrt{8 + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.11

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{8 + {\sqrt{4^{2} + 4^{2}}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.12

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{16 + 4^{2}}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.13

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{16 + 16}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.14

Additionnez $16$ et $16$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{32}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.15

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.15.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{16 (2)}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.15.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{8 + {(4 \sqrt{2})}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.17

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{8 + 4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.18

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{8 + 16 {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.19

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.19.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{8 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.19.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.19.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.19.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.19.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.19.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2^{1} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.19.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2 + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.20

Multipliez $16$ par $2$ .

$\sqrt{8 + 32 + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Étape 2.21

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\sqrt{8 + 32 + {| 4 - i |}^{2}}$

Étape 2.22

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{8 + 32 + {\sqrt{4^{2} + {(- 1)}^{2}}}^{2}}$

Étape 2.23

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{8 + 32 + {\sqrt{16 + {(- 1)}^{2}}}^{2}}$

Étape 2.24

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{8 + 32 + {\sqrt{16 + 1}}^{2}}$

Étape 2.25

Additionnez $16$ et $1$ .

$\sqrt{8 + 32 + {\sqrt{17}}^{2}}$

Étape 2.26

Réécrivez ${\sqrt{17}}^{2}$ comme $17$ .

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Étape 2.26.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{17}$ comme $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{8 + 32 + {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.26.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{8 + 32 + 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.26.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{8 + 32 + 17^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.26.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.26.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{8 + 32 + 17^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.26.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{8 + 32 + 17^{1}}$

Étape 2.26.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{8 + 32 + 17}$

Étape 2.27

Additionnez $8$ et $32$ .

$\sqrt{40 + 17}$

Étape 2.28

Additionnez $40$ et $17$ .

$\sqrt{57}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{57}$

Forme décimale :

$7.54983443 \dots$