Algèbre linéaire Exemples

$- 3 x - 4 y = 2$ , $8 y = - 6 x - 4$

Étape 1

Ajoutez $6 x$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 x - 4 y = 2, 8 y + 6 x = - 4$

Étape 2

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} - 3 & - 4 & 2 \\ 6 & 8 & - 4 \end{array}]$

Étape 3

Réduisez en ligne pour éliminer l’une des variables.

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Étape 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{3} \cdot 2 \\ 6 & 8 & - 4 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{2}{3} \\ 6 & 8 & - 4 \end{array}]$

Étape 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{2}{3} \\ 6 - 6 \cdot 1 & 8 - 6 (\frac{4}{3}) & - 4 - 6 (- \frac{2}{3}) \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x + \frac{4 y}{3} = - \frac{2}{3}$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{4 y}{3} = - \frac{2}{3} - x$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Étape 5.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Simplifiez $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3}$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Étape 5.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (4 y) = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Étape 5.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y$ .

$\frac{1}{4} (4 (y)) = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Étape 5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (4 y) = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Étape 5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez $\frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{4} (- x)$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$y = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 2}{3} + \frac{3}{4} (- x)$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 2}{3} + \frac{3}{4} (- x)$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{4} \cdot - 2 + \frac{3}{4} (- x)$

Étape 5.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{1}{2 (2)} \cdot - 2 + \frac{3}{4} (- x)$

Étape 5.3.2.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + \frac{3}{4} (- x)$

Étape 5.3.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + \frac{3}{4} (- x)$

Étape 5.3.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{3}{4} (- x)$

Étape 5.3.2.1.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$y = \frac{- 1}{2} + \frac{3}{4} (- x)$

Étape 5.3.2.1.5

Associez $\frac{3}{4}$ et $x$ .

$y = \frac{- 1}{2} - \frac{3 x}{4}$

Étape 5.3.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{3 x}{4}$

Étape 5.4

Remettez dans l’ordre $- \frac{1}{2}$ et $- \frac{3 x}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 6

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(x, - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2})$

Étape 7

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2} \end{array}]$