Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot - 1) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 (1 - 1 \cdot - 1) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (1 + 1) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 3.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 \cdot 2 - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 1 \end{array} | + 0$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 2 - 2 (2 \cdot 1 - 3 \cdot - 1) + 0$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 \cdot 2 - 2 (2 - 3 \cdot - 1) + 0$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$1 \cdot 2 - 2 (2 + 3) + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$1 \cdot 2 - 2 \cdot 5 + 0$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - 2 \cdot 5 + 0$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$2 - 10 + 0$

Étape 5.2

Soustrayez $10$ de $2$ .

$- 8 + 0$

Étape 5.3

Additionnez $- 8$ et $0$ .

$- 8$