Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} x & 1 & 0 & 0 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$

Étape 1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 1.11

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$ .

$x | \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$ .

$x | \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Étape 4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Étape 4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Étape 4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Étape 4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 4.1.9

Add the terms together.

$x (x | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.2

Évaluez $| \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ .

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Étape 4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x (x \cdot x - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x (x (x^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ .

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Étape 4.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (1 x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (x - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 4.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 \cdot 1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.4.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.5.1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x (x^{1} x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.5.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x (x^{1 + 2} + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.5.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$x (x^{3} + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.5.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x (x^{3} - 1 \cdot x - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x (x^{3} - x - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$x (x^{3} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.5.1.6

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x (x^{3} - x - x - 1 \cdot - 1 + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.5.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (x^{3} - x - x + 1 + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.5.1.8

Multipliez $1 - x$ par $1$ .

$x (x^{3} - x - x + 1 + 1 - x) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.5.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$x (x^{3} - 2 x + 1 + 1 - x) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.5.3

Soustrayez $x$ de $- 2 x$ .

$x (x^{3} - 3 x + 1 + 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 4.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

Étape 5

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$ .

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |$

Étape 5.1.9

Add the terms together.

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0$

Étape 5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x \cdot x - 1 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0$

Étape 5.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x^{2} - 1 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0$

Étape 5.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x^{2} - 1) + 0 + 0) + 0 + 0$

Étape 5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.1

Associez les termes opposés dans $1 (x^{2} - 1) + 0 + 0$ .

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Étape 5.5.1.1

Additionnez $1 (x^{2} - 1)$ et $0$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x^{2} - 1) + 0) + 0 + 0$

Étape 5.5.1.2

Additionnez $1 (x^{2} - 1)$ et $0$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x^{2} - 1)) + 0 + 0$

Étape 5.5.2

Multipliez $x^{2} - 1$ par $1$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1) + 0 + 0$

Étape 6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.1

Associez les termes opposés dans $x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1) + 0 + 0$ .

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Étape 6.1.1

Additionnez $x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1)$ et $0$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1) + 0$

Étape 6.1.2

Additionnez $x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1)$ et $0$ .

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1)$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x^{3} + x (- 3 x) + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

Étape 6.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{3} + x (- 3 x) + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

Étape 6.2.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 3} + x (- 3 x) + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

Étape 6.2.2.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{4} + x (- 3 x) + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

Étape 6.2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} - 3 x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

Étape 6.2.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{4} - 3 x \cdot x + 2 \cdot x - 1 (x^{2} - 1)$

Étape 6.2.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} - 3 (x \cdot x) + 2 \cdot x - 1 (x^{2} - 1)$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 \cdot x - 1 (x^{2} - 1)$

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1 (x^{2} - 1)$

Étape 6.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Étape 6.2.5

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - x^{2} - 1 \cdot - 1$

Étape 6.2.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - x^{2} + 1$

Étape 6.3

Soustrayez $x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 2 x + 1$