Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x & - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} - \frac{1}{5} & x & - \frac{1}{5} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} & x \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} & x \end{array}]$

Étape 1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments

$0$ . S’il n’y a aucun élément

$0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne

$1$ par son cofacteur et ajoutez.

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Étape 1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position

$-$ sur le tableau de signes.

Étape 1.3

Le mineur pour

$a_{11}$ est le déterminant dont la ligne

$1$ et la colonne

$1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

Étape 1.4

Multipliez l’élément

$a_{11}$ par son cofacteur.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

Étape 1.5

Le mineur pour

$a_{12}$ est le déterminant dont la ligne

$1$ et la colonne

$2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

Étape 1.6

Multipliez l’élément

$a_{12}$ par son cofacteur.

$\frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

Étape 1.7

Le mineur pour

$a_{13}$ est le déterminant dont la ligne

$1$ et la colonne

$3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Étape 1.8

Multipliez l’élément

$a_{13}$ par son cofacteur.

$- \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Étape 1.9

Additionnez les termes entre eux.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Étape 2

Évaluez

$| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x \cdot x - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Multipliez

$x$ par

$x$ .

$x (x^{2} - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Étape 2.2.2

Multipliez

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5})$ .

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Étape 2.2.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$x (x^{2} - (1 (\frac{1}{5}) \frac{1}{5})) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Étape 2.2.2.2

Multipliez

$\frac{1}{5}$ par

$1$ .

$x (x^{2} - (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5})) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Étape 2.2.2.3

Multipliez

$\frac{1}{5}$ par

$\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{5 \cdot 5}) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Étape 2.2.2.4

Multipliez

$5$ par

$5$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Étape 3

Évaluez

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} x - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez

$x$ et

$\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Étape 3.2.2

Multipliez

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5})$ .

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Étape 3.2.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - (1 (\frac{1}{5}) \frac{1}{5})) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Étape 3.2.2.2

Multipliez

$\frac{1}{5}$ par

$1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5})) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Étape 3.2.2.3

Multipliez

$\frac{1}{5}$ par

$\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5}) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Étape 3.2.2.4

Multipliez

$5$ par

$5$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Étape 4

Évaluez

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}) - (- \frac{1}{5} x))$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5})$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (1 (\frac{1}{5}) \frac{1}{5} - (- \frac{1}{5} x))$

Étape 4.2.1.2

Multipliez

$\frac{1}{5}$ par

$1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} - (- \frac{1}{5} x))$

Étape 4.2.1.3

Multipliez

$\frac{1}{5}$ par

$\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{5 \cdot 5} - (- \frac{1}{5} x))$

Étape 4.2.1.4

Multipliez

$5$ par

$5$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} - (- \frac{1}{5} x))$

Étape 4.2.2

Associez

$x$ et

$\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} - - \frac{x}{5})$

Étape 4.2.3

Multipliez

$- - \frac{x}{5}$ .

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Étape 4.2.3.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + 1 \frac{x}{5})$

Étape 4.2.3.2

Multipliez

$\frac{x}{5}$ par

$1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x^{2} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Étape 5.1.2

Multipliez

$x$ par

$x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.2.1

Multipliez

$x$ par

$x^{2}$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Élevez

$x$ à la puissance

$1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Étape 5.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 2} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Étape 5.1.2.2

Additionnez

$1$ et

$2$ .

$x^{3} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Étape 5.1.3

Associez

$x$ et

$\frac{1}{25}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Étape 5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - \frac{x}{25} + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5}) + \frac{1}{5} (- \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Étape 5.1.5

Multipliez

$\frac{1}{5} (- \frac{x}{5})$ .

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Étape 5.1.5.1

Multipliez

$\frac{1}{5}$ par

$\frac{x}{5}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{5 \cdot 5} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Étape 5.1.5.2

Multipliez

$5$ par

$5$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Étape 5.1.6

Multipliez

$\frac{1}{5} (- \frac{1}{25})$ .

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Étape 5.1.6.1

Multipliez

$\frac{1}{5}$ par

$\frac{1}{25}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{5 \cdot 25} - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Étape 5.1.6.2

Multipliez

$5$ par

$25$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Étape 5.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{25} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$

Étape 5.1.8

Multipliez

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{25}$ .

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Étape 5.1.8.1

Multipliez

$\frac{1}{25}$ par

$\frac{1}{5}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{25 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$

Étape 5.1.8.2

Multipliez

$25$ par

$5$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{125} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$

Étape 5.1.9

Multipliez

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$ .

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Étape 5.1.9.1

Multipliez

$\frac{x}{5}$ par

$\frac{1}{5}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{125} - \frac{x}{5 \cdot 5}$

Étape 5.1.9.2

Multipliez

$5$ par

$5$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{125} - \frac{x}{25}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{3} + \frac{- x - x - x}{25} + \frac{- 1 - 1}{125}$

Étape 5.3

Soustrayez

$x$ de

$- x$ .

$x^{3} + \frac{- 2 x - x}{25} + \frac{- 1 - 1}{125}$

Étape 5.4

Soustrayez

$x$ de

$- 2 x$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x}{25} + \frac{- 1 - 1}{125}$

Étape 5.5

Soustrayez

$1$ de

$- 1$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x}{25} + \frac{- 2}{125}$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{3} - \frac{3 x}{25} + \frac{- 2}{125}$

Étape 5.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{3} - \frac{3 x}{25} - \frac{2}{125}$