Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 1 - 1 \cdot - 1$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 - 1 \cdot - 1$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 1$

Étape 2.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$2$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{2} [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \cdot 1 \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{- 1}{2} & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 6.5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$