Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 + 0 i 2 - 3 i 1 + 2 i 1 + 0 i \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 + 0 i \\ 2 - 3 i \\ 1 + 2 i \\ 1 + 0 i \end{array}]$

Étape 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

\sqrt{{| 0 + 0 i |}^{2} + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{{| 0 + 0 i |}^{2} + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez

0

$0$ par

i

$i$ .

\sqrt{{| 0 + 0 |}^{2} + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{{| 0 + 0 |}^{2} + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.2

Additionnez

0

$0$ et

0

$0$ .

\sqrt{{| 0 |}^{2} + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{{| 0 |}^{2} + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

0

$0$ est

0

$0$ .

\sqrt{0^{2} + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0^{2} + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.4

L’élévation de

0

$0$ à toute puissance positive produit

0

$0$ .

\sqrt{0 + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0 + {| 2 - 3 i |}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.5

Utilisez la formule

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

\sqrt{0 + {\sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2}}}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0 + {\sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2}}}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.6

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

\sqrt{0 + {\sqrt{4 + {(- 3)}^{2}}}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0 + {\sqrt{4 + {(- 3)}^{2}}}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.7

Élevez

- 3

$- 3$ à la puissance

2

$2$ .

\sqrt{0 + {\sqrt{4 + 9}}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0 + {\sqrt{4 + 9}}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.8

Additionnez

4

$4$ et

9

$9$ .

\sqrt{0 + {\sqrt{13}}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0 + {\sqrt{13}}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.9

Réécrivez

{\sqrt{13}}^{2}

${\sqrt{13}}^{2}$ comme

13

$13$ .

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Étape 2.9.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{13}

$\sqrt{13}$ comme

13^{\frac{1}{2}}

$13^{\frac{1}{2}}$ .

\sqrt{0 + {(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0 + {(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{0 + 13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0 + 13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.9.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

\sqrt{0 + 13^{\frac{2}{2}} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}

$\sqrt{0 + 13^{\frac{2}{2}} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.9.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 2.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{0 + 13^{\frac{2}{2}} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{0 + 13^{1} + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.9.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{0 + 13 + {| 1 + 2 i |}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.10

Utilisez la formule

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{0 + 13 + {\sqrt{1^{2} + 2^{2}}}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{0 + 13 + {\sqrt{1 + 2^{2}}}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.12

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$\sqrt{0 + 13 + {\sqrt{1 + 4}}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.13

Additionnez

$1$ et

$4$ .

$\sqrt{0 + 13 + {\sqrt{5}}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.14

Réécrivez

${\sqrt{5}}^{2}$ comme

$5$ .

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Étape 2.14.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{5}$ comme

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{0 + 13 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{0 + 13 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.14.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$\sqrt{0 + 13 + 5^{\frac{2}{2}} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.14.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 2.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{0 + 13 + 5^{\frac{2}{2}} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{0 + 13 + 5^{1} + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.14.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{0 + 13 + 5 + {| 1 + 0 i |}^{2}}$

Étape 2.15

Multipliez

$0$ par

$i$ .

$\sqrt{0 + 13 + 5 + {| 1 + 0 |}^{2}}$

Étape 2.16

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$\sqrt{0 + 13 + 5 + {| 1 |}^{2}}$

Étape 2.17

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\sqrt{0 + 13 + 5 + 1^{2}}$

Étape 2.18

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{0 + 13 + 5 + 1}$

Étape 2.19

Additionnez

$0$ et

$13$ .

$\sqrt{13 + 5 + 1}$

Étape 2.20

Additionnez

$13$ et

$5$ .

$\sqrt{18 + 1}$

Étape 2.21

Additionnez

$18$ et

$1$ .

$\sqrt{19}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{19}$

Forme décimale :

$4.35889894 \dots$