Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 3 + 4 i \\ 4 + 4 i \\ 2 + 2 i \\ 4 - 2 i \end{array}]$

Étape 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 3 + 4 i |}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{9 + 4^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{9 + 16}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.4

Additionnez $9$ et $16$ .

$\sqrt{{\sqrt{25}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.5

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\sqrt{{\sqrt{5^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sqrt{5^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.7

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.8

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{25 + {\sqrt{4^{2} + 4^{2}}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.9

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 + 4^{2}}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.10

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 + 16}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.11

Additionnez $16$ et $16$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{32}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.12

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.12.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 (2)}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.12.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{25 + {(4 \sqrt{2})}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.14

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{25 + 4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.15

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + 16 {\sqrt{2}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.16

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.16.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.16.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.16.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.16.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.16.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.16.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2^{1} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.16.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{25 + 16 \cdot 2 + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.17

Multipliez $16$ par $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.18

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{2^{2} + 2^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.19

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{4 + 2^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.20

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{4 + 4}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.21

Additionnez $4$ et $4$ .

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{8}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.22

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.22.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{4 (2)}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.22.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{25 + 32 + {\sqrt{2^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.23

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{25 + 32 + {(2 \sqrt{2})}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.24

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 2^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.25

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 4 {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.26

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.26.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.26.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.26.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.26.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.26.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.26.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2^{1} + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.26.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{25 + 32 + 4 \cdot 2 + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.27

Multipliez $4$ par $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {| 4 - 2 i |}^{2}}$

Étape 2.28

Utilisez la formule $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ pour déterminer la valeur absolue.

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2}}}^{2}}$

Étape 2.29

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{16 + {(- 2)}^{2}}}^{2}}$

Étape 2.30

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{16 + 4}}^{2}}$

Étape 2.31

Additionnez $16$ et $4$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{20}}^{2}}$

Étape 2.32

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.32.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{4 (5)}}^{2}}$

Étape 2.32.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {\sqrt{2^{2} \cdot 5}}^{2}}$

Étape 2.33

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt{25 + 32 + 8 + {(2 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 2.34

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.35

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.36

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.36.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.36.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.36.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.36.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.36.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.36.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5^{1}}$

Étape 2.36.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 4 \cdot 5}$

Étape 2.37

Multipliez $4$ par $5$ .

$\sqrt{25 + 32 + 8 + 20}$

Étape 2.38

Additionnez $25$ et $32$ .

$\sqrt{57 + 8 + 20}$

Étape 2.39

Additionnez $57$ et $8$ .

$\sqrt{65 + 20}$

Étape 2.40

Additionnez $65$ et $20$ .

$\sqrt{85}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{85}$

Forme décimale :

$9.21954445 \dots$