Algèbre linéaire Exemples

$d = v (x^{2} - x + (y^{2} - y)) \cdot 22$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $v (x^{2} - x + y^{2} - y) \cdot 22 = d$ .

$v (x^{2} - x + y^{2} - y) \cdot 22 = d$

Étape 2

Simplifiez $v (x^{2} - x + y^{2} - y) \cdot 22$ .

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(v x^{2} + v (- x) + v y^{2} + v (- y)) \cdot 22 = d$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(v x^{2} - v x + v y^{2} + v (- y)) \cdot 22 = d$

Étape 2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(v x^{2} - v x + v y^{2} - v y) \cdot 22 = d$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$v x^{2} \cdot 22 - v x \cdot 22 + v y^{2} \cdot 22 - v y \cdot 22 = d$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Déplacez $22$ à gauche de $v x^{2}$ .

$22 \cdot (v x^{2}) - v x \cdot 22 + v y^{2} \cdot 22 - v y \cdot 22 = d$

Étape 2.4.2

Multipliez $22$ par $- 1$ .

$22 \cdot (v x^{2}) - 22 v x + v y^{2} \cdot 22 - v y \cdot 22 = d$

Étape 2.4.3

Déplacez $22$ à gauche de $v y^{2}$ .

$22 \cdot (v x^{2}) - 22 v x + 22 \cdot (v y^{2}) - v y \cdot 22 = d$

Étape 2.4.4

Multipliez $22$ par $- 1$ .

$22 \cdot (v x^{2}) - 22 v x + 22 \cdot (v y^{2}) - 22 v y = d$

Étape 2.5

Supprimez les parenthèses.

$22 v x^{2} - 22 v x + 22 v y^{2} - 22 v y = d$

Étape 3

Soustrayez $d$ des deux côtés de l’équation.

$22 v x^{2} - 22 v x + 22 v y^{2} - 22 v y - d = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 22 v$ , $b = - 22 v$ et $c = 22 v x^{2} - 22 v x - d$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{22 v \pm \sqrt{{(- 22 v)}^{2} - 4 \cdot (22 v \cdot (22 v x^{2} - 22 v x - d))}}{2 (22 v)}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{{(- 22 v)}^{2} - 4 \cdot (22 (v \cdot (22 (v x^{2}) - 22 (v x) - d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.2

Laissez $u = 22 (v \cdot (22 (v x^{2}) - 22 (v x) - d))$ . Remplacez toutes les occurrences de $22 (v \cdot (22 (v x^{2}) - 22 (v x) - d))$ par $u$ .

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Étape 6.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 22 v$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} v^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.2.2

Élevez $- 22$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{484 v^{2} - 4 u}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $484 v^{2} - 4 u$ .

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Étape 6.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $484 v^{2}$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2}) - 4 u}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (121 v^{2}) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - u)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $22 (v \cdot (22 (v x^{2}) - 22 (v x) - d))$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (v \cdot (22 (v x^{2}) - 22 (v x) - d))))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.5.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (v \cdot (22 v x^{2} - 22 v x - d))))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (v (22 v x^{2}) + v (- 22 v x) + v (- d))))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.3

Simplifiez

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Étape 6.1.5.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v (v x^{2}) + v (- 22 v x) + v (- d))))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v (v x^{2}) - 22 v (v x) + v (- d))))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v (v x^{2}) - 22 v (v x) - v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.5.4.1

Multipliez $v$ par $v$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.5.4.1.1

Déplacez $v$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 (v \cdot v) x^{2} - 22 v (v x) - v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.4.1.2

Multipliez $v$ par $v$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v^{2} x^{2} - 22 v (v x) - v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.4.2

Multipliez $v$ par $v$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.5.4.2.1

Déplacez $v$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v^{2} x^{2} - 22 (v \cdot v) x - v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.4.2.2

Multipliez $v$ par $v$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v^{2} x^{2} - 22 v^{2} x - v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v^{2} x^{2}) + 22 (- 22 v^{2} x) + 22 (- v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.6

Simplifiez

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Étape 6.1.5.6.1

Multipliez $22$ par $22$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (484 (v^{2} x^{2}) + 22 (- 22 v^{2} x) + 22 (- v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.6.2

Multipliez $- 22$ par $22$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (484 (v^{2} x^{2}) - 484 (v^{2} x) + 22 (- v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.6.3

Multipliez $- 1$ par $22$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (484 (v^{2} x^{2}) - 484 (v^{2} x) - 22 (v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.7

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (484 v^{2} x^{2} - 484 v^{2} x - 22 v d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.8

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (484 v^{2} x^{2}) - (- 484 v^{2} x) - (- 22 v d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.9

Simplifiez

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Étape 6.1.5.9.1

Multipliez $484$ par $- 1$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - 484 (v^{2} x^{2}) - (- 484 v^{2} x) - (- 22 v d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.9.2

Multipliez $- 484$ par $- 1$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - 484 (v^{2} x^{2}) + 484 (v^{2} x) - (- 22 v d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.9.3

Multipliez $- 22$ par $- 1$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - 484 (v^{2} x^{2}) + 484 (v^{2} x) + 22 (v d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.5.10

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - 484 v^{2} x^{2} + 484 v^{2} x + 22 v d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.6

Factorisez $11 v$ à partir de $121 v^{2} - 484 v^{2} x^{2} + 484 v^{2} x + 22 v d$ .

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Étape 6.1.6.1

Factorisez $11 v$ à partir de $121 v^{2}$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v) - 484 v^{2} x^{2} + 484 v^{2} x + 22 v d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.6.2

Factorisez $11 v$ à partir de $- 484 v^{2} x^{2}$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v) + 11 v (- 44 v x^{2}) + 484 v^{2} x + 22 v d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.6.3

Factorisez $11 v$ à partir de $484 v^{2} x$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v) + 11 v (- 44 v x^{2}) + 11 v (44 v x) + 22 v d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.6.4

Factorisez $11 v$ à partir de $22 v d$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v) + 11 v (- 44 v x^{2}) + 11 v (44 v x) + 11 v (2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.6.5

Factorisez $11 v$ à partir de $11 v (11 v) + 11 v (- 44 v x^{2})$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v - 44 v x^{2}) + 11 v (44 v x) + 11 v (2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.6.6

Factorisez $11 v$ à partir de $11 v (11 v - 44 v x^{2}) + 11 v (44 v x)$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x) + 11 v (2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.6.7

Factorisez $11 v$ à partir de $11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x) + 11 v (2 d)$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 \cdot (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.7

Multipliez $4$ par $11$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{44 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.8

Réécrivez $44 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)$ comme $2^{2} \cdot (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d))$ .

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Étape 6.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $44$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11) v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{2^{2} \cdot (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{2^{2} \cdot (11 (v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.8.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{2^{2} \cdot (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{22 v \pm 2 \sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $22$ .

$y = \frac{22 v \pm 2 \sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{44 v}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{22 v \pm 2 \sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{44 v}$ .

$y = \frac{11 v \pm \sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{22 v}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{{(- 22 v)}^{2} - 4 \cdot (22 (v \cdot (22 (v x^{2}) - 22 (v x) - d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.2

Laissez $u = 22 (v \cdot (22 (v x^{2}) - 22 (v x) - d))$ . Remplacez toutes les occurrences de $22 (v \cdot (22 (v x^{2}) - 22 (v x) - d))$ par $u$ .

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Étape 7.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 22 v$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} v^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.2.2

Élevez $- 22$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{484 v^{2} - 4 u}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.3

Factorisez $4$ à partir de $484 v^{2} - 4 u$ .

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Étape 7.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $484 v^{2}$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2}) - 4 u}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (121 v^{2}) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - u)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $22 (v \cdot (22 (v x^{2}) - 22 (v x) - d))$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (v \cdot (22 (v x^{2}) - 22 (v x) - d))))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.5.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (v \cdot (22 v x^{2} - 22 v x - d))))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (v (22 v x^{2}) + v (- 22 v x) + v (- d))))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.3

Simplifiez

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Étape 7.1.5.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v (v x^{2}) + v (- 22 v x) + v (- d))))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v (v x^{2}) - 22 v (v x) + v (- d))))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v (v x^{2}) - 22 v (v x) - v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.5.4.1

Multipliez $v$ par $v$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.5.4.1.1

Déplacez $v$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 (v \cdot v) x^{2} - 22 v (v x) - v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.4.1.2

Multipliez $v$ par $v$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v^{2} x^{2} - 22 v (v x) - v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.4.2

Multipliez $v$ par $v$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.5.4.2.1

Déplacez $v$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v^{2} x^{2} - 22 (v \cdot v) x - v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.4.2.2

Multipliez $v$ par $v$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v^{2} x^{2} - 22 v^{2} x - v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v^{2} x^{2}) + 22 (- 22 v^{2} x) + 22 (- v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.6

Simplifiez

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Étape 7.1.5.6.1

Multipliez $22$ par $22$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (484 (v^{2} x^{2}) + 22 (- 22 v^{2} x) + 22 (- v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.6.2

Multipliez $- 22$ par $22$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (484 (v^{2} x^{2}) - 484 (v^{2} x) + 22 (- v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.6.3

Multipliez $- 1$ par $22$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (484 (v^{2} x^{2}) - 484 (v^{2} x) - 22 (v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.7

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (484 v^{2} x^{2} - 484 v^{2} x - 22 v d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.8

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (484 v^{2} x^{2}) - (- 484 v^{2} x) - (- 22 v d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.9

Simplifiez

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Étape 7.1.5.9.1

Multipliez $484$ par $- 1$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - 484 (v^{2} x^{2}) - (- 484 v^{2} x) - (- 22 v d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.9.2

Multipliez $- 484$ par $- 1$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - 484 (v^{2} x^{2}) + 484 (v^{2} x) - (- 22 v d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.9.3

Multipliez $- 22$ par $- 1$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - 484 (v^{2} x^{2}) + 484 (v^{2} x) + 22 (v d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.5.10

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - 484 v^{2} x^{2} + 484 v^{2} x + 22 v d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.6

Factorisez $11 v$ à partir de $121 v^{2} - 484 v^{2} x^{2} + 484 v^{2} x + 22 v d$ .

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Étape 7.1.6.1

Factorisez $11 v$ à partir de $121 v^{2}$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v) - 484 v^{2} x^{2} + 484 v^{2} x + 22 v d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.6.2

Factorisez $11 v$ à partir de $- 484 v^{2} x^{2}$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v) + 11 v (- 44 v x^{2}) + 484 v^{2} x + 22 v d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.6.3

Factorisez $11 v$ à partir de $484 v^{2} x$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v) + 11 v (- 44 v x^{2}) + 11 v (44 v x) + 22 v d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.6.4

Factorisez $11 v$ à partir de $22 v d$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v) + 11 v (- 44 v x^{2}) + 11 v (44 v x) + 11 v (2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.6.5

Factorisez $11 v$ à partir de $11 v (11 v) + 11 v (- 44 v x^{2})$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v - 44 v x^{2}) + 11 v (44 v x) + 11 v (2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.6.6

Factorisez $11 v$ à partir de $11 v (11 v - 44 v x^{2}) + 11 v (44 v x)$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x) + 11 v (2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.6.7

Factorisez $11 v$ à partir de $11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x) + 11 v (2 d)$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 \cdot (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.7

Multipliez $4$ par $11$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{44 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.8

Réécrivez $44 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)$ comme $2^{2} \cdot (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d))$ .

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Étape 7.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $44$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11) v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{2^{2} \cdot (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{2^{2} \cdot (11 (v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.8.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{2^{2} \cdot (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{22 v \pm 2 \sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $22$ .

$y = \frac{22 v \pm 2 \sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{44 v}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{22 v \pm 2 \sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{44 v}$ .

$y = \frac{11 v \pm \sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{22 v}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{11 v + \sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{22 v}$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{{(- 22 v)}^{2} - 4 \cdot (22 (v \cdot (22 (v x^{2}) - 22 (v x) - d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.2

Laissez $u = 22 (v \cdot (22 (v x^{2}) - 22 (v x) - d))$ . Remplacez toutes les occurrences de $22 (v \cdot (22 (v x^{2}) - 22 (v x) - d))$ par $u$ .

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Étape 8.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 22 v$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} v^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.2.2

Élevez $- 22$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{484 v^{2} - 4 u}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.3

Factorisez $4$ à partir de $484 v^{2} - 4 u$ .

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Étape 8.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $484 v^{2}$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2}) - 4 u}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (121 v^{2}) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - u)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $22 (v \cdot (22 (v x^{2}) - 22 (v x) - d))$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (v \cdot (22 (v x^{2}) - 22 (v x) - d))))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.5.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (v \cdot (22 v x^{2} - 22 v x - d))))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (v (22 v x^{2}) + v (- 22 v x) + v (- d))))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.3

Simplifiez

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Étape 8.1.5.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v (v x^{2}) + v (- 22 v x) + v (- d))))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v (v x^{2}) - 22 v (v x) + v (- d))))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v (v x^{2}) - 22 v (v x) - v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.5.4.1

Multipliez $v$ par $v$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1.5.4.1.1

Déplacez $v$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 (v \cdot v) x^{2} - 22 v (v x) - v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.4.1.2

Multipliez $v$ par $v$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v^{2} x^{2} - 22 v (v x) - v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.4.2

Multipliez $v$ par $v$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1.5.4.2.1

Déplacez $v$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v^{2} x^{2} - 22 (v \cdot v) x - v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.4.2.2

Multipliez $v$ par $v$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v^{2} x^{2} - 22 v^{2} x - v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (22 (22 v^{2} x^{2}) + 22 (- 22 v^{2} x) + 22 (- v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.6

Simplifiez

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Étape 8.1.5.6.1

Multipliez $22$ par $22$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (484 (v^{2} x^{2}) + 22 (- 22 v^{2} x) + 22 (- v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.6.2

Multipliez $- 22$ par $22$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (484 (v^{2} x^{2}) - 484 (v^{2} x) + 22 (- v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.6.3

Multipliez $- 1$ par $22$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (484 (v^{2} x^{2}) - 484 (v^{2} x) - 22 (v d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.7

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (484 v^{2} x^{2} - 484 v^{2} x - 22 v d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.8

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - (484 v^{2} x^{2}) - (- 484 v^{2} x) - (- 22 v d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.9

Simplifiez

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Étape 8.1.5.9.1

Multipliez $484$ par $- 1$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - 484 (v^{2} x^{2}) - (- 484 v^{2} x) - (- 22 v d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.9.2

Multipliez $- 484$ par $- 1$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - 484 (v^{2} x^{2}) + 484 (v^{2} x) - (- 22 v d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.9.3

Multipliez $- 22$ par $- 1$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - 484 (v^{2} x^{2}) + 484 (v^{2} x) + 22 (v d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.5.10

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (121 v^{2} - 484 v^{2} x^{2} + 484 v^{2} x + 22 v d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.6

Factorisez $11 v$ à partir de $121 v^{2} - 484 v^{2} x^{2} + 484 v^{2} x + 22 v d$ .

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Étape 8.1.6.1

Factorisez $11 v$ à partir de $121 v^{2}$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v) - 484 v^{2} x^{2} + 484 v^{2} x + 22 v d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.6.2

Factorisez $11 v$ à partir de $- 484 v^{2} x^{2}$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v) + 11 v (- 44 v x^{2}) + 484 v^{2} x + 22 v d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.6.3

Factorisez $11 v$ à partir de $484 v^{2} x$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v) + 11 v (- 44 v x^{2}) + 11 v (44 v x) + 22 v d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.6.4

Factorisez $11 v$ à partir de $22 v d$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v) + 11 v (- 44 v x^{2}) + 11 v (44 v x) + 11 v (2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.6.5

Factorisez $11 v$ à partir de $11 v (11 v) + 11 v (- 44 v x^{2})$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v - 44 v x^{2}) + 11 v (44 v x) + 11 v (2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.6.6

Factorisez $11 v$ à partir de $11 v (11 v - 44 v x^{2}) + 11 v (44 v x)$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x) + 11 v (2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.6.7

Factorisez $11 v$ à partir de $11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x) + 11 v (2 d)$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 \cdot (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.7

Multipliez $4$ par $11$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{44 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.8

Réécrivez $44 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)$ comme $2^{2} \cdot (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d))$ .

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Étape 8.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $44$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{4 (11) v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{2^{2} \cdot (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{2^{2} \cdot (11 (v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.8.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{22 v \pm \sqrt{2^{2} \cdot (11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d))}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{22 v \pm 2 \sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{2 \cdot (22 v)}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $22$ .

$y = \frac{22 v \pm 2 \sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{44 v}$

Étape 8.3

Simplifiez $\frac{22 v \pm 2 \sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{44 v}$ .

$y = \frac{11 v \pm \sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{22 v}$

Étape 8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{11 v - \sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{22 v}$

Étape 9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{11 v + \sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{22 v}$

$y = \frac{11 v - \sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{22 v}$

Étape 10

Définissez le radicande dans $\sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d) \geq 0$

Étape 11

Résolvez $v$ .

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Étape 11.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$v = 0$

$11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d = 0$

Étape 11.2

Définissez $v$ égal à $0$ .

$v = 0$

Étape 11.3

Définissez $11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d$ égal à $0$ et résolvez $v$ .

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Étape 11.3.1

Définissez $11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d$ égal à $0$ .

$11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d = 0$

Étape 11.3.2

Résolvez $11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d = 0$ pour $v$ .

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Étape 11.3.2.1

Soustrayez $2 d$ des deux côtés de l’équation.

$11 v - 44 v x^{2} + 44 v x = - 2 d$

Étape 11.3.2.2

Factorisez $11 v$ à partir de $11 v - 44 v x^{2} + 44 v x$ .

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Étape 11.3.2.2.1

Factorisez $11 v$ à partir de $11 v$ .

$11 v (1) - 44 v x^{2} + 44 v x = - 2 d$

Étape 11.3.2.2.2

Factorisez $11 v$ à partir de $- 44 v x^{2}$ .

$11 v (1) + 11 v (- 4 x^{2}) + 44 v x = - 2 d$

Étape 11.3.2.2.3

Factorisez $11 v$ à partir de $44 v x$ .

$11 v (1) + 11 v (- 4 x^{2}) + 11 v (4 x) = - 2 d$

Étape 11.3.2.2.4

Factorisez $11 v$ à partir de $11 v (1) + 11 v (- 4 x^{2})$ .

$11 v (1 - 4 x^{2}) + 11 v (4 x) = - 2 d$

Étape 11.3.2.2.5

Factorisez $11 v$ à partir de $11 v (1 - 4 x^{2}) + 11 v (4 x)$ .

$11 v (1 - 4 x^{2} + 4 x) = - 2 d$

Étape 11.3.2.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$11 v (- 4 x^{2} + 4 x + 1) = - 2 d$

Étape 11.3.2.4

Divisez chaque terme dans $11 v (- 4 x^{2} + 4 x + 1) = - 2 d$ par $11 (- 4 x^{2} + 4 x + 1)$ et simplifiez.

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Étape 11.3.2.4.1

Divisez chaque terme dans $11 v (- 4 x^{2} + 4 x + 1) = - 2 d$ par $11 (- 4 x^{2} + 4 x + 1)$ .

$\frac{11 v (- 4 x^{2} + 4 x + 1)}{11 (- 4 x^{2} + 4 x + 1)} = \frac{- 2 d}{11 (- 4 x^{2} + 4 x + 1)}$

Étape 11.3.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.3.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 11.3.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 v (- 4 x^{2} + 4 x + 1)}{11 (- 4 x^{2} + 4 x + 1)} = \frac{- 2 d}{11 (- 4 x^{2} + 4 x + 1)}$

Étape 11.3.2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{v (- 4 x^{2} + 4 x + 1)}{- 4 x^{2} + 4 x + 1} = \frac{- 2 d}{11 (- 4 x^{2} + 4 x + 1)}$

Étape 11.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $- 4 x^{2} + 4 x + 1$ .

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Étape 11.3.2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v (- 4 x^{2} + 4 x + 1)}{- 4 x^{2} + 4 x + 1} = \frac{- 2 d}{11 (- 4 x^{2} + 4 x + 1)}$

Étape 11.3.2.4.2.2.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{- 2 d}{11 (- 4 x^{2} + 4 x + 1)}$

Étape 11.3.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.2.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$v = - \frac{2 d}{11 (- 4 x^{2} + 4 x + 1)}$

Étape 11.3.2.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$v = - \frac{2 d}{11 (- (4 x^{2}) + 4 x + 1)}$

Étape 11.3.2.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $4 x$ .

$v = - \frac{2 d}{11 (- (4 x^{2}) - (- 4 x) + 1)}$

Étape 11.3.2.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2}) - (- 4 x)$ .

$v = - \frac{2 d}{11 (- (4 x^{2} - 4 x) + 1)}$

Étape 11.3.2.4.3.5

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$v = - \frac{2 d}{11 (- (4 x^{2} - 4 x) - 1 (- 1))}$

Étape 11.3.2.4.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2} - 4 x) - 1 (- 1)$ .

$v = - \frac{2 d}{11 (- (4 x^{2} - 4 x - 1))}$

Étape 11.3.2.4.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.3.2.4.3.7.1

Réécrivez $- (4 x^{2} - 4 x - 1)$ comme $- 1 (4 x^{2} - 4 x - 1)$ .

$v = - \frac{2 d}{11 (- 1 (4 x^{2} - 4 x - 1))}$

Étape 11.3.2.4.3.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$v = - - \frac{2 d}{11 (4 x^{2} - 4 x - 1)}$

Étape 11.3.2.4.3.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$v = 1 \frac{2 d}{11 (4 x^{2} - 4 x - 1)}$

Étape 11.3.2.4.3.7.4

Multipliez $\frac{2 d}{11 (4 x^{2} - 4 x - 1)}$ par $1$ .

$v = \frac{2 d}{11 (4 x^{2} - 4 x - 1)}$

Étape 11.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d) \geq 0$ vraie.

$v = 0$

$v = \frac{2 d}{11 (4 x^{2} - 4 x - 1)}$

$v = 0$

$v = \frac{2 d}{11 (4 x^{2} - 4 x - 1)}$

Étape 12

Définissez le dénominateur dans $\frac{11 v + \sqrt{11 v (11 v - 44 v x^{2} + 44 v x + 2 d)}}{22 v}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$22 v = 0$

Étape 13

Divisez chaque terme dans $22 v = 0$ par $22$ et simplifiez.

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Étape 13.1

Divisez chaque terme dans $22 v = 0$ par $22$ .

$\frac{22 v}{22} = \frac{0}{22}$

Étape 13.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun de $22$ .

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Étape 13.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{22 v}{22} = \frac{0}{22}$

Étape 13.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{0}{22}$

Étape 13.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.3.1

Divisez $0$ par $22$ .

$v = 0$

Étape 14

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $v$ qui rendent l’expression définie.

$(N o (Min i m u m), N o (Max i m u m)]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${v | N o (Min i m u m) < v \leq N o (Max i m u m)}$