Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ x \end{array}]$

Étape 1

La transformation définit un mappage de $ℝ^{2}$ à $ℝ^{2}$ . Pour prouver que la transformation est linéaire, elle doit conserver la multiplication scalaire, l’addition et le vecteur zéro.

M : $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Étape 2

Commencez par prouver que la transformée préserve cette propriété.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Étape 3

Définissez deux matrices pour tester si la propriété d’addition est préservée pour $M$ .

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Étape 4

Ajoutez les deux matrices.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Étape 5

Appliquez la transformation au vecteur.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} + y_{2} \\ x_{1} + y_{1} \end{array}]$

Étape 6

Séparez le résultat en deux matrices en regroupant les variables.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{2} \\ y_{1} \end{array}]$

Étape 7

La propriété d’addition de la transformée est vraie.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Étape 8

Pour qu’une transformée soit linéaire, elle doit maintenir la multiplication scalaire.

$M (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Étape 9

Factorisez le $p$ à partir de chaque élément.

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Étape 9.1

Multipliez $p$ par chaque élément dans la matrice.

$M (p x) = M ([\begin{array}{c} p x \\ p y \end{array}])$

Étape 9.2

Appliquez la transformation au vecteur.

Étape 9.3

Réorganisez $p y$ .

$M (p x) = [\begin{array}{c} p y \end{array}]$

Étape 9.4

Factorisez l’élément $0, 0$ en multipliant $p y$ .

$M (p x) = [\begin{array}{c} p (y) \end{array}]$

Étape 10

La deuxième propriété d’une transformation linéaire est conservée dans cette transformation.

$M (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]) = p M (x)$

Étape 11

Pour que la transformée soit linéaire, le vecteur nul doit être préservé.

$M (0) = 0$

Étape 12

Appliquez la transformation au vecteur.

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 13

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 13.1

Réorganisez $0$ .

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 13.2

Réorganisez $0$ .

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 14

Le vecteur nul est conservé par la transformation.

$M (0) = 0$

Étape 15

Comme les trois propriétés des transformations linéaires ne sont pas respectées, il ne s’agit pas d’une transformation linéaire.

Transformation linéaire