Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $2$ est la matrice carrée $2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 1.3.2

Remplacez $I_{2}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1.3 - λ & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

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Étape 1.4.3.1

Additionnez $0.4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1.3 - λ & 0.4 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez $- 0.2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1.3 - λ & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1.3 - λ) (1.9 - λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Étape 1.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1.1

Développez $(1.3 - λ) (1.9 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 1.3 (1.9 - λ) - λ (1.9 - λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Étape 1.5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 1.3 \cdot 1.9 + 1.3 (- λ) - λ (1.9 - λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Étape 1.5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 1.3 \cdot 1.9 + 1.3 (- λ) - λ \cdot 1.9 - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Étape 1.5.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1.2.1.1

Multipliez $1.3$ par $1.9$ .

$p (λ) = 2.47 + 1.3 (- λ) - λ \cdot 1.9 - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Étape 1.5.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1.3$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - λ \cdot 1.9 - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Étape 1.5.2.1.2.1.3

Multipliez $1.9$ par $- 1$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Étape 1.5.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Étape 1.5.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Étape 1.5.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Étape 1.5.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ + 1 λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Étape 1.5.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ + λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Étape 1.5.2.1.2.2

Soustrayez $1.9 λ$ de $- 1.3 λ$ .

$p (λ) = 2.47 - 3.2 λ + λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Étape 1.5.2.1.3

Multipliez $- (- 0.2 \cdot 0.4)$ .

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Étape 1.5.2.1.3.1

Multipliez $- 0.2$ par $0.4$ .

$p (λ) = 2.47 - 3.2 λ + λ^{2} - - 0.08$

Étape 1.5.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 0.08$ .

$p (λ) = 2.47 - 3.2 λ + λ^{2} + 0.08$

Étape 1.5.2.2

Additionnez $2.47$ et $0.08$ .

$p (λ) = - 3.2 λ + λ^{2} + 2.55$

Étape 1.5.2.3

Remettez dans l’ordre $- 3.2 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3.2 λ + 2.55$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{2} - 3.2 λ + 2.55 = 0$

Étape 1.7

Résolvez $λ$ .

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Étape 1.7.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.7.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 3.2$ et $c = 2.55$ dans la formule quadratique et résolvez pour $λ$ .

$\frac{3.2 \pm \sqrt{{(- 3.2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2.55)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3

Simplifiez

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Étape 1.7.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.3.1.1

Élevez $- 3.2$ à la puissance $2$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{10.24 - 4 \cdot 1 \cdot 2.55}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2.55$ .

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Étape 1.7.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{10.24 - 4 \cdot 2.55}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2.55$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{10.24 - 10.2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3.1.3

Soustrayez $10.2$ de $10.24$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{0.04}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3.1.4

Réécrivez $0.04$ comme ${0.2}^{2}$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{{0.2}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$λ = \frac{3.2 \pm 0.2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$λ = \frac{3.2 \pm 0.2}{2}$

Étape 1.7.3.3

Simplifiez $\frac{3.2 \pm 0.2}{2}$ .

$λ = \frac{16 \pm 1}{10}$

Étape 1.7.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$λ = \frac{17}{10}, \frac{3}{2}$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{17}{10}$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - \frac{17}{10} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- \frac{17}{10}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} \cdot 1 & - \frac{17}{10} \cdot 0 \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & - \frac{17}{10} \cdot 0 \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $- \frac{17}{10} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 (\frac{17}{10}) \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $\frac{17}{10}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez $- \frac{17}{10} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ 0 (\frac{17}{10}) & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $\frac{17}{10}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ 0 & - \frac{17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 1.3 - \frac{17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3

Simplify each element.

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Étape 3.2.3.1

Pour écrire $1.3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 \cdot \frac{10}{10} - \frac{17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.2

Associez $1.3$ et $\frac{10}{10}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 10}{10} - \frac{17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 10 - 17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.3.4.1

Multipliez $1.3$ par $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13 - 17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.4.2

Soustrayez $17$ de $13$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 4}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.5

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $10$ .

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Étape 3.2.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 (- 2)}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{- 2}{5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.7

Additionnez $0.4$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.8

Additionnez $- 0.2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.9

Pour écrire $1.9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \cdot \frac{10}{10} - \frac{17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.10

Associez $1.9$ et $\frac{10}{10}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 10}{10} - \frac{17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 10 - 17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.3.12.1

Multipliez $1.9$ par $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{19 - 17}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.12.2

Soustrayez $17$ de $19$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.13

Annulez le facteur commun à $2$ et $10$ .

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Étape 3.2.3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2 (1)}{10} \end{array}]$

Étape 3.2.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} \end{array}]$

Étape 3.2.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} \end{array}]$

Étape 3.2.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when $λ = \frac{17}{10}$ .

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Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 & 0 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{5}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{5}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} (- \frac{2}{5}) & - \frac{5}{2} \cdot 0.4 & - \frac{5}{2} \cdot 0 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 0.2 + 0.2 \cdot 1 & \frac{1}{5} + 0.2 \cdot - 1 & 0 + 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{3}{2}$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - \frac{3}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- \frac{3}{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{3}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 (\frac{3}{2}) \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $\frac{3}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3

Multipliez $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 (\frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $\frac{3}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 1.3 - \frac{3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3

Simplify each element.

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Étape 4.2.3.1

Pour écrire $1.3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.2

Associez $1.3$ et $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 2 - 3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.4.1

Multipliez $1.3$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2.6 - 3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.4.2

Soustrayez $3$ de $2.6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.4}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.5

Divisez $- 0.4$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.6

Additionnez $0.4$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.7

Additionnez $- 0.2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.8

Pour écrire $1.9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.9

Associez $1.9$ et $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 2 - 3}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.11.1

Multipliez $1.9$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{3.8 - 3}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.11.2

Soustrayez $3$ de $3.8$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{0.8}{2} \end{array}]$

Étape 4.2.3.12

Divisez $0.8$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & 0.4 \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when $λ = \frac{3}{2}$ .

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Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 & 0 \\ - 0.2 & 0.4 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.2}{- 0.2} & \frac{0.4}{- 0.2} & \frac{0}{- 0.2} \\ - 0.2 & 0.4 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ - 0.2 & 0.4 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ - 0.2 + 0.2 \cdot 1 & 0.4 + 0.2 \cdot - 2 & 0 + 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 2 y = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 y \\ y \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]}$