Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $2$ est la matrice carrée $2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{2}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $λ$ de $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Soustrayez $λ$ de $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.2

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.4

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.5

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - - 1$

Étape 5.2.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{2} + 1 = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$λ^{2} = - 1$

Étape 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 7.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$λ = \pm i$

Étape 7.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$λ = i$

Étape 7.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$λ = - i$

Étape 7.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$λ = i, - i$