Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $3$ est la matrice carrée $3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{3}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 + 0 & 6 + 0 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 + 0 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 4 + 0 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 4 & 5 - λ & 6 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $6$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez $3$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 3 & 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 6 \\ 4 & 5 - λ & 6 \\ 3 & 1 & - 2 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 1 & - 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 1 & - 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 1 & - 2 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 5 - λ & 6 \\ 1 & - 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((5 - λ) (- 2 - λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Développez $(5 - λ) (- 2 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (5 (- 2 - λ) - λ (- 2 - λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (5 \cdot - 2 + 5 (- λ) - λ (- 2 - λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (5 \cdot - 2 + 5 (- λ) - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.2.1.1

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 + 5 (- λ) - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 5 λ + 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.2.2

Additionnez $- 5 λ$ et $2 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 3 λ + λ^{2} - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 10 - 3 λ + λ^{2} - 6) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $6$ de $- 10$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 3 λ + λ^{2} - 16) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.2.3

Remettez dans l’ordre $- 3 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 3 & - 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (4 (- 2 - λ) - 3 \cdot 6) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (4 \cdot - 2 + 4 (- λ) - 3 \cdot 6) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 8 + 4 (- λ) - 3 \cdot 6) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 8 - 4 λ - 3 \cdot 6) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 8 - 4 λ - 18) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $18$ de $- 8$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 | \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & 5 - λ \\ 3 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (4 \cdot 1 - 3 (5 - λ))$

Étape 5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (4 - 3 (5 - λ))$

Étape 5.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (4 - 3 \cdot 5 - 3 (- λ))$

Étape 5.4.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (4 - 15 - 3 (- λ))$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (4 - 15 + 3 λ)$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $15$ de $4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (- 11 + 3 λ)$

Étape 5.4.2.3

Remettez dans l’ordre $- 11$ et $3 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16) - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.1

Développez $(2 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 16)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- 3 λ) + 2 \cdot - 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ + 2 \cdot - 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5.1.2.3

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.1.2.3.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5.1.2.3.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.5.1.2.3.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5.1.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5.1.2.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5.1.2.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.1.2.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5.1.2.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot - 16 - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5.1.2.7

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} + 3 λ^{2} + 16 λ - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5.1.3

Additionnez $2 λ^{2}$ et $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 6 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5.1.4

Additionnez $- 6 λ$ et $16 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} - 4 (- 4 λ - 26) + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} - 4 (- 4 λ) - 4 \cdot - 26 + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ - 4 \cdot - 26 + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5.1.7

Multipliez $- 4$ par $- 26$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ + 104 + 6 (3 λ - 11)$

Étape 5.5.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ + 104 + 6 (3 λ) + 6 \cdot - 11$

Étape 5.5.1.9

Multipliez $3$ par $6$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ + 104 + 18 λ + 6 \cdot - 11$

Étape 5.5.1.10

Multipliez $6$ par $- 11$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 10 λ - 32 - λ^{3} + 16 λ + 104 + 18 λ - 66$

Étape 5.5.2

Additionnez $10 λ$ et $16 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 26 λ - 32 - λ^{3} + 104 + 18 λ - 66$

Étape 5.5.3

Additionnez $26 λ$ et $18 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 44 λ - 32 - λ^{3} + 104 - 66$

Étape 5.5.4

Additionnez $- 32$ et $104$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 44 λ - λ^{3} + 72 - 66$

Étape 5.5.5

Soustrayez $66$ de $72$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} + 44 λ - λ^{3} + 6$

Étape 5.5.6

Déplacez $44 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - λ^{3} + 44 λ + 6$

Étape 5.5.7

Remettez dans l’ordre $5 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} + 44 λ + 6$