Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $4$ est la matrice carrée $4 \times 4$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] - λ I_{4})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{4}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.9.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.10.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.12.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.13.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.14.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.15.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 + 0 & 7 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $7$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 + 0 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $5$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.9

Additionnez $3$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.10

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.11

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.12

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$

Étape 5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$

Étape 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$

Étape 5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$

Étape 5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$

Étape 5.4

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 8 - λ & 3 \end{array} |$

Étape 5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 8 - λ & 3 \end{array} |$

Étape 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 8 - λ & 3 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 8 - λ & 3 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 8 - λ & 3 \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) ((8 - λ) (4 - λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.4.2.1.1

Développez $(8 - λ) (4 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (8 (4 - λ) - λ (4 - λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (8 \cdot 4 + 8 (- λ) - λ (4 - λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (8 \cdot 4 + 8 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.4.2.1.2.1.1

Multipliez $8$ par $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 + 8 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ + λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.2

Soustrayez $4 λ$ de $- 8 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 12 λ + λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.3

Multipliez $0$ par $3$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 12 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.2

Additionnez $32 - 12 λ + λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 12 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.3

Déplacez $32$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (- 12 λ + λ^{2} + 32) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.4

Remettez dans l’ordre $- 12 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.5.1

Associez les termes opposés dans $(3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32) + 0 + 0$ .

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Étape 5.5.5.1.1

Additionnez $(3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32)$ et $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2

Additionnez $(3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32)$ et $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32)) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.2

Développez $(3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} + 3 (- 12 λ) + 3 \cdot 32 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.3.1

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 3 \cdot 32 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.2

Multipliez $3$ par $32$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.3

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.3.3.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - (λ^{2} λ) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.3.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.5.5.3.3.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{2 + 1} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.3.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 (λ \cdot λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ^{2} - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.6

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} + 12 λ^{2} - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.7

Multipliez $32$ par $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} + 12 λ^{2} - 32 λ) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.4

Additionnez $3 λ^{2}$ et $12 λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (15 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} - 32 λ) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.5

Soustrayez $32 λ$ de $- 36 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (15 λ^{2} - 68 λ + 96 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.6

Déplacez $96$ .

$p (λ) = (4 - λ) (15 λ^{2} - 68 λ - λ^{3} + 96) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.7

Déplacez $- 68 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (15 λ^{2} - λ^{3} - 68 λ + 96) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.8

Remettez dans l’ordre $15 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.6.1

Associez les termes opposés dans $(4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96) + 0 + 0 + 0$ .

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Étape 5.6.1.1

Additionnez $(4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96)$ et $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96) + 0 + 0$

Étape 5.6.1.2

Additionnez $(4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96)$ et $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96) + 0$

Étape 5.6.1.3

Additionnez $(4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96)$ et $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96)$

Étape 5.6.2

Développez $(4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 4 (- λ^{3}) + 4 (15 λ^{2}) + 4 (- 68 λ) + 4 \cdot 96 - λ (- λ^{3}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 (15 λ^{2}) + 4 (- 68 λ) + 4 \cdot 96 - λ (- λ^{3}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.2

Multipliez $15$ par $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} + 4 (- 68 λ) + 4 \cdot 96 - λ (- λ^{3}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.3

Multipliez $- 68$ par $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 4 \cdot 96 - λ (- λ^{3}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.4

Multipliez $4$ par $96$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - λ (- λ^{3}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.6

Multipliez $λ$ par $λ^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.3.6.1

Déplacez $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.6.2

Multipliez $λ^{3}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.3.6.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + 1 λ^{4} - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.8

Multipliez $λ^{4}$ par $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 1 \cdot 15 λ \cdot λ^{2} - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.10

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.3.10.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 1 \cdot 15 (λ^{2} λ) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.10.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.3.10.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 1 \cdot 15 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 1 \cdot 15 λ^{2 + 1} - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 1 \cdot 15 λ^{3} - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.11

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} - 1 \cdot - 68 λ \cdot λ - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.13

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.3.13.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} - 1 \cdot - 68 (λ \cdot λ) - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.13.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} - 1 \cdot - 68 λ^{2} - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.14

Multipliez $- 1$ par $- 68$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} + 68 λ^{2} - λ \cdot 96$

Étape 5.6.3.15

Multipliez $96$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} + 68 λ^{2} - 96 λ$

Étape 5.6.4

Soustrayez $15 λ^{3}$ de $- 4 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} + 68 λ^{2} - 96 λ$

Étape 5.6.5

Additionnez $60 λ^{2}$ et $68 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + 128 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 96 λ$

Étape 5.6.6

Soustrayez $96 λ$ de $- 272 λ$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + 128 λ^{2} - 368 λ + 384 + λ^{4}$

Étape 5.6.7

Déplacez $384$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + 128 λ^{2} - 368 λ + λ^{4} + 384$

Étape 5.6.8

Déplacez $- 368 λ$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + 128 λ^{2} + λ^{4} - 368 λ + 384$

Étape 5.6.9

Déplacez $128 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + λ^{4} + 128 λ^{2} - 368 λ + 384$

Étape 5.6.10

Remettez dans l’ordre $- 19 λ^{3}$ et $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 19 λ^{3} + 128 λ^{2} - 368 λ + 384$