Algèbre linéaire Exemples

$\frac{2 \sqrt{3 + \sqrt{6}}}{4 \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3 + \sqrt{6}}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3 + \sqrt{6}})}{4 \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{3 - \sqrt{6}}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3 + \sqrt{6}})}{2 (2 \sqrt{3 - \sqrt{6}})}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3 + \sqrt{6}}}{2 (2 \sqrt{3 - \sqrt{6}})}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}}}{2 \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}}}{2 \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$ par $\frac{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}}}{2 \sqrt{3 - \sqrt{6}}} \cdot \frac{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}$

Étape 3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}}}{2 \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$ par $\frac{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 \sqrt{3 - \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$

Étape 3.2

Déplacez $\sqrt{3 - \sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 (\sqrt{3 - \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}})}$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{3 - \sqrt{6}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 ({\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{1} \sqrt{3 - \sqrt{6}})}$

Étape 3.4

Élevez $\sqrt{3 - \sqrt{6}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 ({\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{1} {\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{1})}$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{1 + 1}}$

Étape 3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{2}}$

Étape 3.7

Réécrivez ${\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{2}$ comme $3 - \sqrt{6}$ .

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Étape 3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 - \sqrt{6}}$ comme ${(3 - \sqrt{6})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {({(3 - \sqrt{6})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {(3 - \sqrt{6})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {(3 - \sqrt{6})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {(3 - \sqrt{6})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {(3 - \sqrt{6})}^{1}}$

Étape 3.7.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{(3 + \sqrt{6}) (3 - \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.2

Développez $(3 + \sqrt{6}) (3 - \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3 (3 - \sqrt{6}) + \sqrt{6} (3 - \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} (3 - \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} \cdot 3 + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{9 + 3 (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} \cdot 3 + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 3 + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.3.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $\sqrt{6} (- \sqrt{6})$ .

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Étape 4.3.1.4.1

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - {\sqrt{6}}^{1 + 1}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 4.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 6^{1}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 1 \cdot 6}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 6}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $6$ de $9$ .

$\frac{\sqrt{3 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.3.3

Additionnez $- 3 \sqrt{6}$ et $3 \sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{3 + 0}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 4.3.4

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Étape 5

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2 (3 - \sqrt{6})}$ par $\frac{3 + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (3 - \sqrt{6})} \cdot \frac{3 + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{6}}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2 (3 - \sqrt{6})}$ par $\frac{3 + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{6})}{2 (3 - \sqrt{6}) (3 + \sqrt{6})}$

Étape 6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1

Déplacez $3 - \sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{6})}{2 ((3 - \sqrt{6}) (3 + \sqrt{6}))}$

Étape 6.2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{6})}{2 (9 + 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} - {\sqrt{6}}^{2})}$

Étape 6.2.3

Simplifiez

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{6})}{2 \cdot 3}$

Étape 6.2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{6})}{6}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{6}}{6}$

Étape 6.4

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{6}}{6}$

Étape 6.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 6}}{6}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{18}}{6}$

Étape 7.2

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9 (2)}}{6}$

Étape 7.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{6}$

Étape 7.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}}{6}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}$ et $6$ .

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Étape 8.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3 \sqrt{2}}{6}$

Étape 8.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (\sqrt{2})}{6}$

Étape 8.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (\sqrt{3}) + 3 (\sqrt{2})$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{6}$

Étape 8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 (2)}$

Étape 8.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 \cdot 2}$

Étape 8.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$1.57313218 \dots$