Algèbre linéaire Exemples

26 a + 8 b = 28

$26 a + 8 b = 28$ ,

8 a + 3 b = 9

$8 a + 3 b = 9$

Étape 1

Déterminez le

A X = B

$A X = B$ à partir du système d’équations.

[\begin{matrix} 26 & 8 8 & 3 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} 289 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 26 & 8 \\ 8 & 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} 28 \\ 9 \end{array}]$

Étape 2

Trouvez l’inverse de la matrice des coefficients.

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Étape 2.1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Étape 2.2

Find the determinant.

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Étape 2.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

26 \cdot 3 - 8 \cdot 8

$26 \cdot 3 - 8 \cdot 8$

Étape 2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez

26

$26$ par

3

$3$ .

78 - 8 \cdot 8

$78 - 8 \cdot 8$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez

- 8

$- 8$ par

8

$8$ .

78 - 64

$78 - 64$

78 - 64

$78 - 64$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez

64

$64$ de

78

$78$ .

14

$14$

14

$14$

14

$14$

Étape 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{14} [\begin{matrix} 3 & - 8 - 8 & 26 \end{matrix}]

$\frac{1}{14} [\begin{array}{c} 3 & - 8 \\ - 8 & 26 \end{array}]$

Étape 2.5

Multipliez

\frac{1}{14}

$\frac{1}{14}$ par chaque élément de la matrice.

[\begin{matrix} \frac{1}{14} \cdot 3 & \frac{1}{14} \cdot - 8 \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{14} \cdot 3 & \frac{1}{14} \cdot - 8 \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Étape 2.6

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 2.6.1

Associez

\frac{1}{14}

$\frac{1}{14}$ et

3

$3$ .

[\begin{matrix} \frac{3}{14} & \frac{1}{14} \cdot - 8 \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{1}{14} \cdot - 8 \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 2.6.2.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

14

$14$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{3}{14} & \frac{1}{2 (7)} \cdot - 8 \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{1}{2 (7)} \cdot - 8 \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Étape 2.6.2.2

Factorisez

2

$2$ à partir de

- 8

$- 8$ .

[\begin{matrix} \frac{3}{14} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Étape 2.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Étape 2.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{1}{7} \cdot - 4 \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Étape 2.6.3

Associez

$\frac{1}{7}$ et

$- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & \frac{- 4}{7} \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Étape 2.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{14} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Étape 2.6.5

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 2.6.5.1

Factorisez

$2$ à partir de

$14$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{2 (7)} \cdot - 8 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Étape 2.6.5.2

Factorisez

$2$ à partir de

$- 8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Étape 2.6.5.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot - 4) & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Étape 2.6.5.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{1}{7} \cdot - 4 & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Étape 2.6.6

Associez

$\frac{1}{7}$ et

$- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ \frac{- 4}{7} & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Étape 2.6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{1}{14} \cdot 26 \end{array}]$

Étape 2.6.8

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 2.6.8.1

Factorisez

$2$ à partir de

$14$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{1}{2 (7)} \cdot 26 \end{array}]$

Étape 2.6.8.2

Factorisez

$2$ à partir de

$26$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 13) \end{array}]$

Étape 2.6.8.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 13) \end{array}]$

Étape 2.6.8.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{1}{7} \cdot 13 \end{array}]$

Étape 2.6.9

Associez

$\frac{1}{7}$ et

$13$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{13}{7} \end{array}]$

Étape 3

Multipliez à gauche les deux côtés de l’équation de la matrice par la matrice inverse.

$([\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{13}{7} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 26 & 8 \\ 8 & 3 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{13}{7} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 28 \\ 9 \end{array}]$

Étape 4

Toute matrice multipliée par son inverse est toujours égale à

$1$ .

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{13}{7} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 28 \\ 9 \end{array}]$

Étape 5

Multipliez

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} & - \frac{4}{7} \\ - \frac{4}{7} & \frac{13}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} 28 \\ 9 \end{array}]$ .

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Étape 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$2 \times 2$ and the second matrix is

$2 \times 1$ .

Étape 5.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{14} \cdot 28 - \frac{4}{7} \cdot 9 \\ - \frac{4}{7} \cdot 28 + \frac{13}{7} \cdot 9 \end{array}]$

Étape 5.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

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Étape 5.3.1

Multipliez

$- 16$ par

$7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{7} \\ \frac{- 112 + 117}{7} \end{array}]$

Étape 5.3.2

Additionnez

$- 112$ et

$117$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{7} \\ \frac{5}{7} \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez les côtés gauche et droit.

$[\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{6}{7} \\ \frac{5}{7} \end{array}]$

Étape 7

Déterminez la solution.

$a = \frac{6}{7}$

$b = \frac{5}{7}$