Algèbre linéaire Exemples

$x + y + z = 12$ , $2 x - 3 y + 2 z = 4$ , $x + z = 2 y$

Step 1

Déterminez le $A X = B$ à partir du système d’équations.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 3 & 2 \\ 1 & - 2 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 12 \\ 4 \\ 0 \end{array}]$

Step 2

Trouvez l’inverse de la matrice des coefficients.

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Définissez une matrice divisée en deux parties de taille égale. Du côté gauche, remplissez les éléments de la matrice d’origine. Du côté droit, remplissez les éléments de la matrice d’identité. Pour déterminer la matrice inverse, utilisez des opérations de lignes pour convertir le côté gauche en la matrice d’identité. Une fois terminé, l’inverse de la matrice d’origine sera du côté droit de la matrice double.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ sur $R_{2}$ (ligne $2$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $0$ .

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Remplacez $R_{2}$ (ligne $2$ ) par l’opération ligne $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 1 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Remplacez $R_{2}$ (ligne $2$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (1) - 3 & (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (1) + 0 & (- 2) \cdot (0) + 1 & (- 2) \cdot (0) + 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifiez $R_{2}$ (ligne $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ sur $R_{3}$ (ligne $3$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $0$ .

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Remplacez $R_{3}$ (ligne $3$ ) par l’opération ligne $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 & - 2 & 1 & 0 \\ - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

Remplacez $R_{3}$ (ligne $3$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 & - 2 & 1 & 0 \\ (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (1) - 2 & (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (1) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

Simplifiez $R_{3}$ (ligne $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ sur $R_{2}$ (ligne $2$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $1$ .

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Remplacez $R_{2}$ (ligne $2$ ) par l’opération ligne $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

Remplacez $R_{2}$ (ligne $2$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 5) & (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 2) & (- \frac{1}{5}) \cdot (1) & (- \frac{1}{5}) \cdot (0) \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

Simplifiez $R_{2}$ (ligne $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne $R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$ sur $R_{1}$ (ligne $1$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $0$ .

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Remplacez $R_{1}$ (ligne $1$ ) par l’opération ligne $R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} & - 1 \cdot R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$

Remplacez $R_{1}$ (ligne $1$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- 1) \cdot (0) + 1 & (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (0) + 1 & (- 1) \cdot (\frac{2}{5}) + 1 & (- 1) \cdot (- \frac{1}{5}) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{2} + R_{1}$

Simplifiez $R_{1}$ (ligne $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne $R_{3} = 3 \cdot R_{2} + R_{3}$ sur $R_{3}$ (ligne $3$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $0$ .

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Remplacez $R_{3}$ (ligne $3$ ) par l’opération ligne $R_{3} = 3 \cdot R_{2} + R_{3}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 3 \cdot R_{2} + R_{3} & 3 \cdot R_{2} + R_{3} & 3 \cdot R_{2} + R_{3} & 3 \cdot R_{2} + R_{3} & 3 \cdot R_{2} + R_{3} & 3 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 3 \cdot R_{2} + R_{3}$

Remplacez $R_{3}$ (ligne $3$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{3} = 3 \cdot R_{2} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ (3) \cdot (0) + 0 & (3) \cdot (1) - 3 & (3) \cdot (0) + 0 & (3) \cdot (\frac{2}{5}) - 1 & (3) \cdot (- \frac{1}{5}) + 0 & (3) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = 3 \cdot R_{2} + R_{3}$

Simplifiez $R_{3}$ (ligne $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{5} & - \frac{3}{5} & 1 \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne $R_{3} = 5 \cdot R_{3}$ sur $R_{3}$ (ligne $3$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $1$ .

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Remplacez $R_{3}$ (ligne $3$ ) par l’opération ligne $R_{3} = 5 \cdot R_{3}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 5 \cdot R_{3} & 5 \cdot R_{3} & 5 \cdot R_{3} & 5 \cdot R_{3} & 5 \cdot R_{3} & 5 \cdot R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 5 \cdot R_{3}$

Remplacez $R_{3}$ (ligne $3$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{3} = 5 \cdot R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ (5) \cdot (0) & (5) \cdot (0) & (5) \cdot (0) & (5) \cdot (\frac{1}{5}) & (5) \cdot (- \frac{3}{5}) & (5) \cdot (1) \end{array}]$

$R_{3} = 5 \cdot R_{3}$

Simplifiez $R_{3}$ (ligne $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & \frac{3}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 & 5 \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne $R_{1} = - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ sur $R_{1}$ (ligne $1$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $0$ .

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Remplacez $R_{1}$ (ligne $1$ ) par l’opération ligne $R_{1} = - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 & 5 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$

Remplacez $R_{1}$ (ligne $1$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{1} = - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{3}{5}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{3}{5}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{3}{5}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{3}{5}) \cdot (1) + \frac{3}{5} & (- \frac{3}{5}) \cdot (- 3) + \frac{1}{5} & (- \frac{3}{5}) \cdot (5) + 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 & 5 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$

Simplifiez $R_{1}$ (ligne $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 & 5 \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ sur $R_{2}$ (ligne $2$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en $0$ .

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Remplacez $R_{2}$ (ligne $2$ ) par l’opération ligne $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 \\ - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 & 5 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$

Remplacez $R_{2}$ (ligne $2$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 \\ (- \frac{2}{5}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{2}{5}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{2}{5}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{2}{5}) \cdot (1) + \frac{2}{5} & (- \frac{2}{5}) \cdot (- 3) - \frac{1}{5} & (- \frac{2}{5}) \cdot (5) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 & 5 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$

Simplifiez $R_{2}$ (ligne $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 3 & 5 \end{array}]$

Comme le déterminant de la matrice est zéro, il n’y a pas d’inverse.

Aucun inverse

Step 3

Comme la matrice n’a pas d’inverse, elle ne peut pas être résolue avec la matrice inverse.

Aucune solution