Algèbre linéaire Exemples

$3 x - y - z = 3$ , $- 2 x + 3 y + z = 3$ , $4 x - 2 y - 2 z = 2$

Étape 1

Déterminez le $A X = B$ à partir du système d’équations.

$[\begin{array}{c} 3 & - 1 & - 1 \\ - 2 & 3 & 1 \\ 4 & - 2 & - 2 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 2 \end{array}]$

Étape 2

Trouvez l’inverse de la matrice des coefficients.

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Étape 2.1

Find the determinant.

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Étape 2.1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 2.1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 2.1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 2.1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ - 2 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.1.9

Add the terms together.

$3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ - 2 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ - 2 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 2.1.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (3 \cdot - 2 - (- 2 \cdot 1)) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$3 (- 6 - (- 2 \cdot 1)) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot 1)$ .

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Étape 2.1.2.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$3 (- 6 - - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$3 (- 6 + 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $- 6$ et $2$ .

$3 \cdot - 4 + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.3

Évaluez $| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 4 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 2.1.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 4 + 1 (- 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$3 \cdot - 4 + 1 (4 - 4 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.3.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$3 \cdot - 4 + 1 (4 - 4) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.3.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$3 \cdot - 4 + 1 \cdot 0 - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 4 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 2.1.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 4 + 1 \cdot 0 - 1 (- 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 3)$

Étape 2.1.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$3 \cdot - 4 + 1 \cdot 0 - 1 (4 - 4 \cdot 3)$

Étape 2.1.4.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$3 \cdot - 4 + 1 \cdot 0 - 1 (4 - 12)$

Étape 2.1.4.2.2

Soustrayez $12$ de $4$ .

$3 \cdot - 4 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 8$

Étape 2.1.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.5.1.1

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$- 12 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 8$

Étape 2.1.5.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$- 12 + 0 - 1 \cdot - 8$

Étape 2.1.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$- 12 + 0 + 8$

Étape 2.1.5.2

Additionnez $- 12$ et $0$ .

$- 12 + 8$

Étape 2.1.5.3

Additionnez $- 12$ et $8$ .

$- 4$

Étape 2.2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 2.3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 3 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & - 2 & - 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.4

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 2.4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 1}{3} & \frac{- 1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ - 2 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & - 2 & - 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.4.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ - 2 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & - 2 & - 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 2.4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 3 + 2 (- \frac{1}{3}) & 1 + 2 (- \frac{1}{3}) & 0 + 2 (\frac{1}{3}) & 1 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 4 & - 2 & - 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 4 & - 2 & - 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 2.4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 2 - 4 (- \frac{1}{3}) & - 2 - 4 (- \frac{1}{3}) & 0 - 4 (\frac{1}{3}) & 0 - 4 \cdot 0 & 1 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 2.4.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & - \frac{4}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 2.4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{3}{7} \cdot 0 & \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} & \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3} & \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3} & \frac{3}{7} \cdot 1 & \frac{3}{7} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & - \frac{4}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.4.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & - \frac{4}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.4.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 2.4.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{7} & - \frac{4}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{7} & 0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{7} & 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 2.4.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{4}{7} & - \frac{8}{7} & \frac{2}{7} & 1 \end{array}]$

Étape 2.4.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{7}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Étape 2.4.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{7}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & 0 \\ - \frac{7}{4} \cdot 0 & - \frac{7}{4} \cdot 0 & - \frac{7}{4} (- \frac{4}{7}) & - \frac{7}{4} (- \frac{8}{7}) & - \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{7} & - \frac{7}{4} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.4.6.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}]$

Étape 2.4.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Étape 2.4.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 - \frac{1}{7} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{7} \cdot 0 & \frac{1}{7} - \frac{1}{7} \cdot 1 & \frac{2}{7} - \frac{1}{7} \cdot 2 & \frac{3}{7} - \frac{1}{7} (- \frac{1}{2}) & 0 - \frac{1}{7} (- \frac{7}{4}) \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}]$

Étape 2.4.7.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}]$

Étape 2.4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Étape 2.4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2 & 0 + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} (- \frac{7}{4}) \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}]$

Étape 2.4.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 1 & - \frac{1}{6} & - \frac{7}{12} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}]$

Étape 2.4.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 2.4.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} & - \frac{7}{12} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}]$

Étape 2.4.9.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}]$

Étape 2.5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}]$

Étape 3

Multipliez à gauche les deux côtés de l’équation de la matrice par la matrice inverse.

$([\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 3 & - 1 & - 1 \\ - 2 & 3 & 1 \\ 4 & - 2 & - 2 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 2 \end{array}]$

Étape 4

Toute matrice multipliée par son inverse est toujours égale à $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 2 \end{array}]$

Étape 5

Multipliez $[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 2 & - \frac{1}{2} & - \frac{7}{4} \end{array}] [\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 2 \end{array}]$ .

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Étape 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Étape 5.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 3 + 0 \cdot 3 - \frac{1}{2} \cdot 2 \\ 0 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{1}{4} \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 - \frac{1}{2} \cdot 3 - \frac{7}{4} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 5.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez les côtés gauche et droit.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}]$

Étape 7

Déterminez la solution.

$x = 2$

$y = 2$

$z = 1$