Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 7 & 5 & 0 4 & 5 & 8 0 & - 1 & 5 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 7 & 5 & 0 \\ 4 & 5 & 8 \\ 0 & - 1 & 5 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 8 - 1 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

7 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 8 - 1 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$7 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

- 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 0 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 0 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

7 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 8 - 1 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 0 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$7 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

7 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 8 - 1 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 0 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$7 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Étape 2

Multipliez

0

$0$ par

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 5 0 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$ .

7 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 8 - 1 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$7 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Étape 3

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 & 8 - 1 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

7 (5 \cdot 5 - (- 1 \cdot 8)) - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$7 (5 \cdot 5 - (- 1 \cdot 8)) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez

5

$5$ par

5

$5$ .

7 (25 - (- 1 \cdot 8)) - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$7 (25 - (- 1 \cdot 8)) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Étape 3.2.1.2

Multipliez

- (- 1 \cdot 8)

$- (- 1 \cdot 8)$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

8

$8$ .

7 (25 - - 8) - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$7 (25 - - 8) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 8

$- 8$ .

7 (25 + 8) - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$7 (25 + 8) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

7 (25 + 8) - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$7 (25 + 8) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

7 (25 + 8) - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$7 (25 + 8) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Étape 3.2.2

Additionnez

25

$25$ et

8

$8$ .

7 \cdot 33 - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$7 \cdot 33 - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

7 \cdot 33 - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$7 \cdot 33 - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

7 \cdot 33 - 5 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$7 \cdot 33 - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Étape 4

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 8 0 & 5 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

7 \cdot 33 - 5 (4 \cdot 5 + 0 \cdot 8) + 0

$7 \cdot 33 - 5 (4 \cdot 5 + 0 \cdot 8) + 0$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

4

$4$ par

5

$5$ .

7 \cdot 33 - 5 (20 + 0 \cdot 8) + 0

$7 \cdot 33 - 5 (20 + 0 \cdot 8) + 0$

Étape 4.2.1.2

Multipliez

0

$0$ par

8

$8$ .

7 \cdot 33 - 5 (20 + 0) + 0

$7 \cdot 33 - 5 (20 + 0) + 0$

7 \cdot 33 - 5 (20 + 0) + 0

$7 \cdot 33 - 5 (20 + 0) + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez

20

$20$ et

0

$0$ .

7 \cdot 33 - 5 \cdot 20 + 0

$7 \cdot 33 - 5 \cdot 20 + 0$

7 \cdot 33 - 5 \cdot 20 + 0

$7 \cdot 33 - 5 \cdot 20 + 0$

7 \cdot 33 - 5 \cdot 20 + 0

$7 \cdot 33 - 5 \cdot 20 + 0$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez

7

$7$ par

33

$33$ .

231 - 5 \cdot 20 + 0

$231 - 5 \cdot 20 + 0$

Étape 5.1.2

Multipliez

- 5

$- 5$ par

20

$20$ .

231 - 100 + 0

$231 - 100 + 0$

231 - 100 + 0

$231 - 100 + 0$

Étape 5.2

Soustrayez

100

$100$ de

231

$231$ .

131 + 0

$131 + 0$

Étape 5.3

Additionnez

131

$131$ et

0

$0$ .

131

$131$

131

$131$