Algèbre linéaire Exemples

$3 x - 5 y + z = 14$ $2 x + 3 y - 4 z = 20$ $5 x - y + 2 z = 7$

Étape 1

Écrivez le système comme une matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & - 5 & 1 & 14 \\ 2 & 3 & - 4 & 20 \\ 5 & - 1 & 2 & 7 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

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Étape 2.1.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 2 & 3 & - 4 & 20 \\ 5 & - 1 & 2 & 7 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 2 & 3 & - 4 & 20 \\ 5 & - 1 & 2 & 7 \end{array}]$

Étape 2.2

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 2.2.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 (- \frac{5}{3}) & - 4 - 2 (\frac{1}{3}) & 20 - 2 (\frac{14}{3}) \\ 5 & - 1 & 2 & 7 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & \frac{19}{3} & - \frac{14}{3} & \frac{32}{3} \\ 5 & - 1 & 2 & 7 \end{array}]$

Étape 2.3

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

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Étape 2.3.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & \frac{19}{3} & - \frac{14}{3} & \frac{32}{3} \\ 5 - 5 \cdot 1 & - 1 - 5 (- \frac{5}{3}) & 2 - 5 (\frac{1}{3}) & 7 - 5 (\frac{14}{3}) \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & \frac{19}{3} & - \frac{14}{3} & \frac{32}{3} \\ 0 & \frac{22}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{49}{3} \end{array}]$

Étape 2.4

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{3}{19}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{3}{19}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ \frac{3}{19} \cdot 0 & \frac{3}{19} \cdot \frac{19}{3} & \frac{3}{19} (- \frac{14}{3}) & \frac{3}{19} \cdot \frac{32}{3} \\ 0 & \frac{22}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{49}{3} \end{array}]$

Étape 2.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{14}{19} & \frac{32}{19} \\ 0 & \frac{22}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{49}{3} \end{array}]$

Étape 2.5

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - \frac{22}{3} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

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Étape 2.5.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - \frac{22}{3} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{14}{19} & \frac{32}{19} \\ 0 - \frac{22}{3} \cdot 0 & \frac{22}{3} - \frac{22}{3} \cdot 1 & \frac{1}{3} - \frac{22}{3} (- \frac{14}{19}) & - \frac{49}{3} - \frac{22}{3} \cdot \frac{32}{19} \end{array}]$

Étape 2.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{14}{19} & \frac{32}{19} \\ 0 & 0 & \frac{109}{19} & - \frac{545}{19} \end{array}]$

Étape 2.6

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $\frac{19}{109}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

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Étape 2.6.1

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $\frac{19}{109}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{14}{19} & \frac{32}{19} \\ \frac{19}{109} \cdot 0 & \frac{19}{109} \cdot 0 & \frac{19}{109} \cdot \frac{109}{19} & \frac{19}{109} (- \frac{545}{19}) \end{array}]$

Étape 2.6.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{14}{19} & \frac{32}{19} \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Étape 2.7

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + \frac{14}{19} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

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Étape 2.7.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + \frac{14}{19} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 + \frac{14}{19} \cdot 0 & 1 + \frac{14}{19} \cdot 0 & - \frac{14}{19} + \frac{14}{19} \cdot 1 & \frac{32}{19} + \frac{14}{19} \cdot - 5 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Étape 2.7.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Étape 2.8

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

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Étape 2.8.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{5}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & \frac{14}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Étape 2.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & 0 & \frac{19}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Étape 2.9

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{3} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 2.9.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{3} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{3} \cdot 0 & - \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{5}{3} \cdot 0 & \frac{19}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Étape 2.9.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.

$x = 3$

$y = - 2$

$z = - 5$

Étape 4

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(3, - 2, - 5)$