Algèbre linéaire Exemples

- 4 - 4 i

$- 4 - 4 i$

Étape 1

Calculez la distance de

$(a, b)$ à l’origine en utilisant la formule

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez

$\sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Élevez

$- 4$ à la puissance

$2$ .

$r = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez

$- 4$ à la puissance

$2$ .

$r = \sqrt{16 + 16}$

Étape 2.3

Additionnez

$16$ et

$16$ .

$r = \sqrt{32}$

Étape 2.4

Réécrivez

$32$ comme

$4^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Factorisez

$16$ à partir de

$32$ .

$r = \sqrt{16 (2)}$

Étape 2.4.2

Réécrivez

$16$ comme

$4^{2}$ .

$r = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Étape 2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = 4 \sqrt{2}$

Étape 3

Calculez l’angle de référence

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{- 4}{- 4} |)$

Étape 4

Simplifiez

$\arctan (| \frac{- 4}{- 4} |)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Divisez

$- 4$ par

$- 4$ .

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

Étape 4.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$θ̂ = \arctan (1)$

Étape 4.3

La valeur exacte de

$\arctan (1)$ est

$\frac{π}{4}$ .

$θ̂ = \frac{π}{4}$

Étape 5

Le point se situe dans le troisième quadrant car

$x$ et

$y$ sont négatifs. Les quadrants sont étiquetés dans l’ordre antihoraire, en commençant en haut à droite.

Quadrant

$3$

Étape 6

$(a, b)$ se trouve dans le troisième quadrant.

$θ = π + θ̂$

$θ = π + \frac{π}{4}$

Étape 7

Simplifiez

$θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Pour écrire

$π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 7.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Associez

$π$ et

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 7.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Déplacez

$4$ à gauche de

$π$ .

$\frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 7.3.2

Additionnez

$4 π$ et

$π$ .

$\frac{5 π}{4}$

Étape 8

Utilisez la formule pour déterminer les racines du nombre complexe.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Étape 9

Remplacez

$r$ ,

$n$ et

$θ$ dans la formule.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Pour écrire

$π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{3}$

Étape 9.2

Associez

$π$ et

$\frac{4}{4}$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{3}$

Étape 9.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π k}{3}$

Étape 9.4

Additionnez

$π \cdot 4$ et

$π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Remettez dans l’ordre

$π$ et

$4$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π k}{3}$

Étape 9.4.2

Additionnez

$4 \cdot π$ et

$π$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k}{3}$

Étape 9.5

Associez

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}$ et

$\frac{\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$

Étape 9.6

Associez

$c$ et

$\frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{3}$

Étape 9.7

Associez

$i$ et

$\frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{3}$

Étape 9.8

Associez

$s$ et

$\frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))))}{3}$

Étape 9.9

Supprimez les parenthèses.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.9.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{3}$

Étape 9.9.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{3}$

Étape 9.9.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{3}$

Étape 9.9.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$

Étape 9.9.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c) {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$

Étape 9.9.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$

Étape 10

Remplacez

$k = 0$ dans la formule et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Appliquez la règle de produit à

$4 \sqrt{2}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{3})$

Étape 10.2

Pour écrire

$π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Étape 10.3

Associez

$π$ et

$\frac{4}{4}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Étape 10.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Étape 10.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1

Déplacez

$4$ à gauche de

$π$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Étape 10.5.2

Additionnez

$4 π$ et

$π$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Étape 10.6

Multipliez

$2 π (0)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.6.1

Multipliez

$0$ par

$2$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 0 π}{3})$

Étape 10.6.2

Multipliez

$0$ par

$π$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 0}{3})$

Étape 10.7

Additionnez

$\frac{5 π}{4}$ et

$0$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4}}{3})$

Étape 10.8

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 10.9

Multipliez

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.9.1

Multipliez

$\frac{5 π}{4}$ par

$\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{5 π}{4 \cdot 3})$

Étape 10.9.2

Multipliez

$4$ par

$3$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{5 π}{12})$

Étape 11

Remplacez

$k = 1$ dans la formule et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Appliquez la règle de produit à

$4 \sqrt{2}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{3})$

Étape 11.2

Pour écrire

$π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Étape 11.3

Associez

$π$ et

$\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Étape 11.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Étape 11.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.1

Déplacez

$4$ à gauche de

$π$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Étape 11.5.2

Additionnez

$4 π$ et

$π$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Étape 11.6

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π}{3})$

Étape 11.7

Pour écrire

$2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Étape 11.8

Associez

$2 π$ et

$\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Étape 11.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π + 2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Étape 11.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.10.1

Multipliez

$4$ par

$2$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π + 8 π}{4}}{3})$

Étape 11.10.2

Additionnez

$5 π$ et

$8 π$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{13 π}{4}}{3})$

Étape 11.11

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{13 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 11.12

Multipliez

$\frac{13 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.12.1

Multipliez

$\frac{13 π}{4}$ par

$\frac{1}{3}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{13 π}{4 \cdot 3})$

Étape 11.12.2

Multipliez

$4$ par

$3$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{13 π}{12})$

Étape 12

Remplacez

$k = 2$ dans la formule et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Appliquez la règle de produit à

$4 \sqrt{2}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (2)}{3})$

Étape 12.2

Pour écrire

$π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Étape 12.3

Associez

$π$ et

$\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Étape 12.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Étape 12.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.1

Déplacez

$4$ à gauche de

$π$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Étape 12.5.2

Additionnez

$4 π$ et

$π$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Étape 12.6

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 4 π}{3})$

Étape 12.7

Pour écrire

$4 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 4 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Étape 12.8

Associez

$4 π$ et

$\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + \frac{4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Étape 12.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π + 4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Étape 12.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.10.1

Multipliez

$4$ par

$4$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π + 16 π}{4}}{3})$

Étape 12.10.2

Additionnez

$5 π$ et

$16 π$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{21 π}{4}}{3})$

Étape 12.11

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{21 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 12.12

Annulez le facteur commun de

$3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.12.1

Factorisez

$3$ à partir de

$21 π$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (7 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 12.12.2

Annulez le facteur commun.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (7 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 12.12.3

Réécrivez l’expression.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{7 π}{4})$

Étape 13

Indiquez les solutions.

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{5 π}{12})$

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{13 π}{12})$

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{7 π}{4})$