Algèbre linéaire Exemples

$5 + 2 i$

Étape 1

Calculez la distance de $(a, b)$ à l’origine en utilisant la formule $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{5^{2} + 2^{2}}$

Étape 2

Simplifiez $\sqrt{5^{2} + 2^{2}}$ .

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Étape 2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{25 + 2^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{25 + 4}$

Étape 2.3

Additionnez $25$ et $4$ .

$r = \sqrt{29}$

Étape 3

Calculez l’angle de référence $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{2}{5} |)$

Étape 4

Simplifiez $\arctan (| \frac{2}{5} |)$ .

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Étape 4.1

$\frac{2}{5}$ est d’environ $0.4$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$θ̂ = \arctan (\frac{2}{5})$

Étape 4.2

Évaluez $\arctan (\frac{2}{5})$ .

$θ̂ = 0.38050637$

Étape 5

Le point se situe dans le premier quadrant car $x$ et $y$ sont positifs. Les quadrants sont étiquetés dans l’ordre antihoraire, en commençant en haut à droite.

Quadrant $1$

Étape 6

$(a, b)$ se trouve dans le premier quadrant. $θ = θ̂$

$θ = 0.38050637$

Étape 7

Utilisez la formule pour déterminer les racines du nombre complexe.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Étape 8

Remplacez $r$ , $n$ et $θ$ dans la formule.

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Étape 8.1

Associez ${(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{(0.38050637) + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)}{2}$

Étape 8.2

Associez $c$ et $\frac{{(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))}{2}$

Étape 8.3

Associez $i$ et $\frac{c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)))}{2}$

Étape 8.4

Associez $s$ et $\frac{i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))))}{2}$

Étape 8.5

Supprimez les parenthèses.

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Étape 8.5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))))}{2}$

Étape 8.5.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k))))}{2}$

Étape 8.5.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)))}{2}$

Étape 8.5.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}}) (0.38050637 + 2 π k))}{2}$

Étape 8.5.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k))}{2}$

Étape 8.5.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}}) (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Étape 8.5.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c) {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Étape 8.5.8

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Étape 9

Remplacez $k = 0$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 9.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(0.38050637) + 2 π (0)}{2})$

Étape 9.2

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 9.2.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 0 π}{2})$

Étape 9.2.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 0}{2})$

Étape 9.3

Additionnez $0.38050637$ et $0$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637}{2})$

Étape 9.4

Divisez $0.38050637$ par $2$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 0.19025318$

Étape 9.5

Multipliez ${\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s$ par $0.19025318$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (0.19025318)$

Étape 10

Remplacez $k = 1$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 10.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(0.38050637) + 2 π (1)}{2})$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 2 π}{2})$

Étape 10.3

Additionnez $0.38050637$ et $2 π$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{6.66369168}{2})$

Étape 10.4

Divisez $6.66369168$ par $2$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 3.33184584$

Étape 10.5

Multipliez ${\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s$ par $3.33184584$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (3.33184584)$

Étape 11

Indiquez les solutions.

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (0.19025318)$

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (3.33184584)$