Algèbre linéaire Exemples

$- 3 + 3 \sqrt{3} i$

Étape 1

Calculez la distance de $(a, b)$ à l’origine en utilisant la formule $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez $\sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{9 + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{9 + 3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{9 + 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{9 + 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{1}}$

Étape 2.2.5

Évaluez l’exposant.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3}$

Étape 2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$r = \sqrt{9 + 27}$

Étape 2.3.2

Additionnez $9$ et $27$ .

$r = \sqrt{36}$

Étape 2.3.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$r = \sqrt{6^{2}}$

Étape 2.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$r = 6$

Étape 3

Calculez l’angle de référence $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$

Étape 4

Simplifiez $\arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $3$ et $- 3$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 (\sqrt{3})}{- 3} |)$

Étape 4.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot \sqrt{3} |)$

Étape 4.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$θ̂ = \arctan (| - \sqrt{3} |)$

Étape 4.3

$- \sqrt{3}$ est d’environ $- 1.7320508$ qui est négatif, alors inversez $- \sqrt{3}$ et retirez la valeur absolue

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 4.4

La valeur exacte de $\arctan (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$θ̂ = \frac{π}{3}$

Étape 5

Le point se situe dans le deuxième quadrant car $x$ est négatif et $y$ est positif. Les quadrants sont étiquetés dans l’ordre antihoraire, en commençant en haut à droite.

Quadrant $2$

Étape 6

$(a, b)$ se trouve dans le deuxième quadrant. $θ = π - θ̂$

$θ = π - \frac{π}{3}$

Étape 7

Simplifiez $θ$ .

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Étape 7.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 7.3.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 8

Utilisez la formule pour déterminer les racines du nombre complexe.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Étape 9

Remplacez $r$ , $n$ et $θ$ dans la formule.

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Étape 9.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

Étape 9.2

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

Étape 9.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π k}{2}$

Étape 9.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 3$ .

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Étape 9.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $3$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π k}{2}$

Étape 9.4.2

Soustrayez $π$ de $3 \cdot π$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$

Étape 9.5

Associez ${(6)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Étape 9.6

Associez $c$ et $\frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Étape 9.7

Associez $i$ et $\frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

Étape 9.8

Associez $s$ et $\frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

Étape 9.9

Supprimez les parenthèses.

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Étape 9.9.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c (6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

Étape 9.9.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

Étape 9.9.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Étape 9.9.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Étape 9.9.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Étape 9.9.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c) \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Étape 9.9.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Étape 10

Remplacez $k = 0$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 10.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (0)}{2})$

Étape 10.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Étape 10.3

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Étape 10.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Étape 10.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Étape 10.5.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Étape 10.6

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 10.6.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0 π}{2})$

Étape 10.6.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0}{2})$

Étape 10.7

Additionnez $\frac{2 π}{3}$ et $0$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3}}{2})$

Étape 10.8

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 10.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 10.9.2

Annulez le facteur commun.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 10.9.3

Réécrivez l’expression.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

Étape 11

Remplacez $k = 1$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (1)}{2})$

Étape 11.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Étape 11.3

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Étape 11.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Étape 11.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Étape 11.5.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Étape 11.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π}{2})$

Étape 11.7

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{2})$

Étape 11.8

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{2})$

Étape 11.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 2 π \cdot 3}{3}}{2})$

Étape 11.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.10.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 6 π}{3}}{2})$

Étape 11.10.2

Additionnez $2 π$ et $6 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{8 π}{3}}{2})$

Étape 11.11

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{8 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 11.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.12.1

Factorisez $2$ à partir de $8 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 11.12.2

Annulez le facteur commun.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 11.12.3

Réécrivez l’expression.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$

Étape 12

Indiquez les solutions.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$