Algèbre linéaire Exemples

$x + y + z + t = 4$ , $2 x - y - z - t = - 1$ , $x + y - 2 z = 0$ , $3 x + 3 t = 6$

Étape 1

Déterminez le $A X = B$ à partir du système d’équations.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Étape 2

Trouvez l’inverse de la matrice des coefficients.

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Étape 2.1

Déterminez le déterminant.

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Étape 2.1.1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne $4$ par son cofacteur et ajoutez.

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Étape 2.1.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 2.1.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 2.1.1.3

Le mineur pour $a_{41}$ est le déterminant dont la ligne $4$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.1.4

Multipliez l’élément $a_{41}$ par son cofacteur.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.1.5

Le mineur pour $a_{42}$ est le déterminant dont la ligne $4$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.1.6

Multipliez l’élément $a_{42}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.1.7

Le mineur pour $a_{43}$ est le déterminant dont la ligne $4$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.1.8

Multipliez l’élément $a_{43}$ par son cofacteur.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.1.9

Le mineur pour $a_{44}$ est le déterminant dont la ligne $4$ et la colonne $4$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 2.1.1.10

Multipliez l’élément $a_{44}$ par son cofacteur.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 2.1.1.11

Additionnez les termes entre eux.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Étape 2.1.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$ .

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 2.1.4.1

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Étape 2.1.4.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 2.1.4.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 2.1.4.1.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.4.1.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.4.1.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.4.1.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.4.1.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 2.1.4.1.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Étape 2.1.4.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$- 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4.2

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 2.1.4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 3 (1 (2 + 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 2.1.4.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (2 \cdot - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.1.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4.3.2.2

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.1.4.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 \cdot 1 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.1.4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 + 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4.4.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.1.4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.5.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 3 (3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- 3 (3 + 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4.5.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 3 (3 + 3 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4.5.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$- 3 (6 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.4.5.3

Additionnez $6$ et $3$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Étape 2.1.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 2.1.5.1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez n’importe quelle ligne ou colonne. Multipliez chaque élément de la colonne $1$ par son cofacteur et additionnez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 2.1.5.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 2.1.5.1.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.5.1.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.5.1.5

Le mineur pour $a_{21}$ est le déterminant dont la ligne $2$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.5.1.6

Multipliez l’élément $a_{21}$ par son cofacteur.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 2.1.5.1.7

Le mineur pour $a_{31}$ est le déterminant dont la ligne $3$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 2.1.5.1.8

Multipliez l’élément $a_{31}$ par son cofacteur.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 2.1.5.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Étape 2.1.5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Étape 2.1.5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 2.1.5.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Étape 2.1.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.1.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.5.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Étape 2.1.5.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Étape 2.1.5.3.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Étape 2.1.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

Étape 2.1.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.5.4.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

Étape 2.1.5.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1) + 0) + 0 + 0$

Étape 2.1.5.4.2.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

Étape 2.1.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.1.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.5.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

Étape 2.1.5.5.1.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 - 3 + 0) + 0 + 0$

Étape 2.1.5.5.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (0 + 0) + 0 + 0$

Étape 2.1.5.5.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

Étape 2.1.6

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.1.1

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$- 27 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

Étape 2.1.6.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$- 27 + 0 + 0 + 0$

Étape 2.1.6.2

Additionnez $- 27$ et $0$ .

$- 27 + 0 + 0$

Étape 2.1.6.3

Additionnez $- 27$ et $0$ .

$- 27 + 0$

Étape 2.1.6.4

Additionnez $- 27$ et $0$ .

$- 27$

Étape 2.2

Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.

Étape 2.3

Définissez une matrice $4 \times 8$ où la moitié de gauche est la matrice d’origine et la moitié de droite est la matrice identité.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.4

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.4.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.4.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.4.2

Réalisez l’opération de ligne $R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $4, 1$ un $0$ .

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Étape 2.4.2.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $4, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.4.3

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 2.4.3.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.4.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.4.4

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

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Étape 2.4.4.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 0 & - 2 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 1 - 0 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.4.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2.4.5

Réalisez l’opération de ligne $R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $4, 3$ un $0$ .

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Étape 2.4.5.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $4, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 \cdot - 2 & - 3 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 2.4.5.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 9 & - 4 & - 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Étape 2.4.6

Multipliez chaque élément de $R_{4}$ par $- \frac{1}{9}$ pour faire de l’entrée sur $4, 4$ un $1$ .

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Étape 2.4.6.1

Multipliez chaque élément de $R_{4}$ par $- \frac{1}{9}$ pour faire de l’entrée sur $4, 4$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot - 4 & - \frac{1}{9} \cdot - 1 & - \frac{1}{9} \cdot 3 & - \frac{1}{9} \cdot 1 \end{array}]$

Étape 2.4.6.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Étape 2.4.7

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ pour faire de l’entrée sur $3, 4$ un $0$ .

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Étape 2.4.7.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ pour faire de l’entrée sur $3, 4$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{4}{9}) & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{9}) & 1 + 2 (- \frac{1}{3}) & 0 + 2 (- \frac{1}{9}) \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Étape 2.4.7.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Étape 2.4.8

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - R_{4}$ pour faire de l’entrée sur $1, 4$ un $0$ .

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Étape 2.4.8.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - R_{4}$ pour faire de l’entrée sur $1, 4$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 1 - \frac{4}{9} & 0 - \frac{1}{9} & 0 + \frac{1}{3} & 0 + \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Étape 2.4.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Étape 2.4.9

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

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Étape 2.4.9.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & \frac{5}{9} - \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} + \frac{2}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Étape 2.4.9.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Étape 2.4.10

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 2.4.10.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 0 - 0 & \frac{1}{3} - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Étape 2.4.10.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Étape 2.5

La moitié droite de la forme d’échelon en ligne réduite est l’inverse.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Étape 3

Multipliez à gauche les deux côtés de l’équation de la matrice par la matrice inverse.

$([\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Étape 4

Toute matrice multipliée par son inverse est toujours égale à $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Étape 5

Multipliez $[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$ .

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Étape 5.1

Deux matrices peuvent être multipliées si et seulement si le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Dans ce cas, la première matrice est $4 \times 4$ et la deuxième matrice est $4 \times 1$ .

Étape 5.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 6 \\ \frac{1}{3} \cdot 4 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 6 \\ \frac{5}{9} \cdot 4 - \frac{1}{9} \cdot - 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{2}{9} \cdot 6 \\ \frac{4}{9} \cdot 4 + \frac{1}{9} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{9} \cdot 6 \end{array}]$

Étape 5.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

$[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez les côtés gauche et droit.

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 7

Déterminez la solution.

$t = 1$

$x = 1$

$y = 1$

$z = 1$