Algèbre linéaire Exemples

$- 4 - 4 i$

Étape 1

Calculez la distance de $(a, b)$ à l’origine en utilisant la formule $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez $\sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$ .

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Étape 2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{16 + 16}$

Étape 2.3

Additionnez $16$ et $16$ .

$r = \sqrt{32}$

Étape 2.4

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$r = \sqrt{16 (2)}$

Étape 2.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$r = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Étape 2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = 4 \sqrt{2}$

Étape 3

Calculez l’angle de référence $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{- 4}{- 4} |)$

Étape 4

Simplifiez $\arctan (| \frac{- 4}{- 4} |)$ .

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Étape 4.1

Divisez $- 4$ par $- 4$ .

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

Étape 4.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$θ̂ = \arctan (1)$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$θ̂ = \frac{π}{4}$

Étape 5

Le point se situe dans le troisième quadrant car $x$ et $y$ sont négatifs. Les quadrants sont étiquetés dans l’ordre antihoraire, en commençant en haut à droite.

Quadrant $3$

Étape 6

$(a, b)$ se trouve dans le troisième quadrant. $θ = π + θ̂$

$θ = π + \frac{π}{4}$

Étape 7

Simplifiez $θ$ .

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Étape 7.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 7.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 7.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$\frac{5 π}{4}$

Étape 8

Utilisez la formule pour déterminer les racines du nombre complexe.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Étape 9

Remplacez $r$ , $n$ et $θ$ dans la formule.

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Étape 9.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{2}$

Étape 9.2

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{2}$

Étape 9.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π k}{2}$

Étape 9.4

Additionnez $π \cdot 4$ et $π$ .

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Étape 9.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $4$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π k}{2}$

Étape 9.4.2

Additionnez $4 \cdot π$ et $π$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k}{2}$

Étape 9.5

Associez ${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{2}$

Étape 9.6

Associez $c$ et $\frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{2}$

Étape 9.7

Associez $i$ et $\frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{2}$

Étape 9.8

Associez $s$ et $\frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))))}{2}$

Étape 9.9

Supprimez les parenthèses.

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Étape 9.9.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{2}$

Étape 9.9.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{2}$

Étape 9.9.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{2}$

Étape 9.9.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{2}$

Étape 9.9.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c) {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{2}$

Étape 9.9.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{2}$

Étape 10

Remplacez $k = 0$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 10.1

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{2}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Étape 10.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$k = 0 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Étape 10.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.4.1

Annulez le facteur commun.

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Étape 10.4.2

Réécrivez l’expression.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Étape 10.5

Évaluez l’exposant.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Étape 10.6

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (0)}{2})$

Étape 10.7

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (0)}{2})$

Étape 10.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (0)}{2})$

Étape 10.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.9.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (0)}{2})$

Étape 10.9.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (0)}{2})$

Étape 10.10

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 10.10.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 0 π}{2})$

Étape 10.10.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 0}{2})$

Étape 10.11

Additionnez $\frac{5 π}{4}$ et $0$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})$

Étape 10.12

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 10.13

Multipliez $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 10.13.1

Multipliez $\frac{5 π}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{5 π}{4 \cdot 2})$

Étape 10.13.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{5 π}{8})$

Étape 11

Remplacez $k = 1$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 11.1

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{2}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Étape 11.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$k = 1 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Étape 11.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Étape 11.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.4.1

Annulez le facteur commun.

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Étape 11.4.2

Réécrivez l’expression.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Étape 11.5

Évaluez l’exposant.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Étape 11.6

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (1)}{2})$

Étape 11.7

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (1)}{2})$

Étape 11.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (1)}{2})$

Étape 11.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.9.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (1)}{2})$

Étape 11.9.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (1)}{2})$

Étape 11.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π}{2})$

Étape 11.11

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{2})$

Étape 11.12

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{2})$

Étape 11.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π + 2 π \cdot 4}{4}}{2})$

Étape 11.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.14.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π + 8 π}{4}}{2})$

Étape 11.14.2

Additionnez $5 π$ et $8 π$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{13 π}{4}}{2})$

Étape 11.15

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{13 π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 11.16

Multipliez $\frac{13 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 11.16.1

Multipliez $\frac{13 π}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{13 π}{4 \cdot 2})$

Étape 11.16.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{13 π}{8})$

Étape 12

Indiquez les solutions.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{5 π}{8})$

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{13 π}{8})$