Algèbre linéaire Exemples

$2 x - 3 y + z = 4$ $y - 2 z + x - 5 = 0$ $3 - 2 x = 4 y - z$

Étape 1

Déplacez toutes les variables du côté gauche de chaque équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x - 3 y + z = 4$

$y - 2 z + x = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Étape 1.2

Déplacez $- 2 z$ .

$2 x - 3 y + z = 4$

$y + x - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Étape 1.4

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.4.1

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y = - z$

Étape 1.4.2

Ajoutez $z$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

Étape 1.5

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

Étape 2

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez le déterminant de la matrice des coefficients $[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ .

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Étape 3.1

Écrivez $[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ en notation de déterminant.

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne $1$ par son cofacteur et ajoutez.

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Étape 3.2.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 3.2.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 3.2.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.2.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.2.9

Additionnez les termes entre eux.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 3.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $- (- 4 \cdot - 2)$ .

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Étape 3.3.2.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$2 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$2 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $8$ de $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 3.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot - 2)$ .

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Étape 3.4.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 3.5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Étape 3.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Étape 3.5.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot 1)$ .

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Étape 3.5.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - - 2)$

Étape 3.5.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 + 2)$

Étape 3.5.2.2

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Étape 3.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.1.1

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$- 14 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$- 14 - 9 + 1 \cdot - 2$

Étape 3.6.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 14 - 9 - 2$

Étape 3.6.2

Soustrayez $9$ de $- 14$ .

$- 23 - 2$

Étape 3.6.3

Soustrayez $2$ de $- 23$ .

$- 25$

$D = - 25$

Étape 4

Comme le déterminant n’est pas $0$ , le système peut être résolu avec la règle de Cramer.

Étape 5

Déterminez la valeur de $x$ par la règle de Cramer, qui stipule que $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la colonne $1$ de la matrice des coefficients qui correspond aux coefficients $x$ du système par $[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 4 & - 3 & 1 \\ 5 & 1 & - 2 \\ - 3 & - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2

Déterminez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.2.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 5.2.1.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.1.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 5.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$4 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2

Multipliez $- (- 4 \cdot - 2)$ .

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Étape 5.2.2.2.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$4 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$4 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.2

Soustrayez $8$ de $1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 5.2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.2.1.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot - 2)$ .

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Étape 5.2.3.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 1 \cdot 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.2

Soustrayez $6$ de $5$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 5.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (5 \cdot - 4 - (- 3 \cdot 1))$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.2.1.1

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - (- 3 \cdot 1))$

Étape 5.2.4.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot 1)$ .

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Étape 5.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - - 3)$

Étape 5.2.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 + 3)$

Étape 5.2.4.2.2

Additionnez $- 20$ et $3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Étape 5.2.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.5.1.1

Multipliez $4$ par $- 7$ .

$- 28 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Étape 5.2.5.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 28 - 3 + 1 \cdot - 17$

Étape 5.2.5.1.3

Multipliez $- 17$ par $1$ .

$- 28 - 3 - 17$

Étape 5.2.5.2

Soustrayez $3$ de $- 28$ .

$- 31 - 17$

Étape 5.2.5.3

Soustrayez $17$ de $- 31$ .

$- 48$

$D_{x} = - 48$

Étape 5.3

Utilisez la formule pour résoudre $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 5.4

Remplacez $D$ par $- 25$ et $D_{x}$ par $- 48$ dans la formule.

$x = \frac{- 48}{- 25}$

Étape 5.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{48}{25}$

Étape 6

Déterminez la valeur de $y$ par la règle de Cramer, qui stipule que $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Étape 6.1

Remplacez la colonne $2$ de la matrice des coefficients qui correspond aux coefficients $y$ du système par $[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & - 2 \\ - 2 & - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2

Déterminez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 6.2.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 6.2.1.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.1.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$2 (5 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot - 2)$ .

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Étape 6.2.2.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$2 (5 - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$2 (5 - 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.2

Soustrayez $6$ de $5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5))$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - (- 2 \cdot 5))$

Étape 6.2.4.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot 5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - - 10)$

Étape 6.2.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 + 10)$

Étape 6.2.4.2.2

Additionnez $- 3$ et $10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Étape 6.2.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Étape 6.2.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$- 2 + 12 + 1 \cdot 7$

Étape 6.2.5.1.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$- 2 + 12 + 7$

Étape 6.2.5.2

Additionnez $- 2$ et $12$ .

$10 + 7$

Étape 6.2.5.3

Additionnez $10$ et $7$ .

$17$

$D_{y} = 17$

Étape 6.3

Utilisez la formule pour résoudre $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 6.4

Remplacez $D$ par $- 25$ et $D_{y}$ par $17$ dans la formule.

$y = \frac{17}{- 25}$

Étape 6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{17}{25}$

Étape 7

Déterminez la valeur de $z$ par la règle de Cramer, qui stipule que $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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Étape 7.1

Remplacez la colonne $3$ de la matrice des coefficients qui correspond aux coefficients $z$ du système par $[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & 5 \\ - 2 & - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 7.2

Déterminez le déterminant.

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Étape 7.2.1

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 7.2.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 7.2.1.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 7.2.1.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 7.2.1.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 7.2.1.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 7.2.1.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.1.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$ .

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Étape 7.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (1 \cdot - 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 7.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$2 (- 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.2.2.1.2

Multipliez $- (- 4 \cdot 5)$ .

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Étape 7.2.2.2.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$2 (- 3 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 20$ .

$2 (- 3 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.2.2.2

Additionnez $- 3$ et $20$ .

$2 \cdot 17 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 17 + 3 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.3.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot 5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - - 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 + 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.3.2.2

Additionnez $- 3$ et $10$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Étape 7.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.2.1.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Étape 7.2.4.2.1.2

Multipliez $- (- 2 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - - 2)$

Étape 7.2.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 + 2)$

Étape 7.2.4.2.2

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Étape 7.2.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.1.1

Multipliez $2$ par $17$ .

$34 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Étape 7.2.5.1.2

Multipliez $3$ par $7$ .

$34 + 21 + 4 \cdot - 2$

Étape 7.2.5.1.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$34 + 21 - 8$

Étape 7.2.5.2

Additionnez $34$ et $21$ .

$55 - 8$

Étape 7.2.5.3

Soustrayez $8$ de $55$ .

$47$

$D_{z} = 47$

Étape 7.3

Utilisez la formule pour résoudre $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Étape 7.4

Remplacez $D$ par $- 25$ et $D_{z}$ par $47$ dans la formule.

$z = \frac{47}{- 25}$

Étape 7.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$z = - \frac{47}{25}$

Étape 8

Indiquez la solution au système d’équations.

$x = \frac{48}{25}$

$y = - \frac{17}{25}$

$z = - \frac{47}{25}$