Algèbre linéaire Exemples

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

$y - 2 z + x - 5 = 0$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Étape 1

Déplacez toutes les variables du côté gauche de chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez

$5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x - 3 y + z = 4$

$y - 2 z + x = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Étape 1.2

Déplacez

$- 2 z$ .

$2 x - 3 y + z = 4$

$y + x - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre

$y$ et

$x$ .

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Étape 1.4

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Soustrayez

$4 y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y = - z$

Étape 1.4.2

Ajoutez

$z$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

Étape 1.5

Soustrayez

$3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

Étape 2

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez le déterminant de la matrice des coefficients

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Écrivez

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ en notation de déterminant.

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments

$0$ . S’il n’y a aucun élément

$0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne

$1$ par son cofacteur et ajoutez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 3.2.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position

$-$ sur le tableau de signes.

Étape 3.2.3

Le mineur pour

$a_{11}$ est le déterminant dont la ligne

$1$ et la colonne

$1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.4

Multipliez l’élément

$a_{11}$ par son cofacteur.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.5

Le mineur pour

$a_{12}$ est le déterminant dont la ligne

$1$ et la colonne

$2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.6

Multipliez l’élément

$a_{12}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Étape 3.2.7

Le mineur pour

$a_{13}$ est le déterminant dont la ligne

$1$ et la colonne

$3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.2.8

Multipliez l’élément

$a_{13}$ par son cofacteur.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.2.9

Additionnez les termes entre eux.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Multipliez

$1$ par

$1$ .

$2 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez

$- (- 4 \cdot - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$- 2$ .

$2 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.3.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$8$ .

$2 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez

$8$ de

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Multipliez

$1$ par

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez

$- (- 2 \cdot - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.2.1

Multipliez

$- 2$ par

$- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.4.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$4$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez

$4$ de

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.5

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Étape 3.5.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Étape 3.5.2.1.2

Multipliez

$- (- 2 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.2.1

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - - 2)$

Étape 3.5.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 + 2)$

Étape 3.5.2.2

Additionnez

$- 4$ et

$2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Étape 3.6

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1.1

Multipliez

$2$ par

$- 7$ .

$- 14 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Étape 3.6.1.2

Multipliez

$3$ par

$- 3$ .

$- 14 - 9 + 1 \cdot - 2$

Étape 3.6.1.3

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$- 14 - 9 - 2$

Étape 3.6.2

Soustrayez

$9$ de

$- 14$ .

$- 23 - 2$

Étape 3.6.3

Soustrayez

$2$ de

$- 23$ .

$- 25$

$D = - 25$

Étape 4

Comme le déterminant n’est pas

$0$ , le système peut être résolu avec la règle de Cramer.

Étape 5

Déterminez la valeur de

$x$ par la règle de Cramer, qui stipule que

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la colonne

$1$ de la matrice des coefficients qui correspond aux coefficients

$x$ du système par

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 4 & - 3 & 1 \\ 5 & 1 & - 2 \\ - 3 & - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2

Déterminez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments

$0$ . S’il n’y a aucun élément

$0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne

$1$ par son cofacteur et ajoutez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.2.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position

$-$ sur le tableau de signes.

Étape 5.2.1.3

Le mineur pour

$a_{11}$ est le déterminant dont la ligne

$1$ et la colonne

$1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.4

Multipliez l’élément

$a_{11}$ par son cofacteur.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.5

Le mineur pour

$a_{12}$ est le déterminant dont la ligne

$1$ et la colonne

$2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.6

Multipliez l’élément

$a_{12}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2.1.7

Le mineur pour

$a_{13}$ est le déterminant dont la ligne

$1$ et la colonne

$3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.1.8

Multipliez l’élément

$a_{13}$ par son cofacteur.

$1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1.1

Multipliez

$1$ par

$1$ .

$4 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2

Multipliez

$- (- 4 \cdot - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$- 2$ .

$4 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$8$ .

$4 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.2

Soustrayez

$8$ de

$1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1.1

Multipliez

$5$ par

$1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.1.2

Multipliez

$- (- 3 \cdot - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1.2.1

Multipliez

$- 3$ par

$- 2$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 1 \cdot 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$6$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.2

Soustrayez

$6$ de

$5$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.2.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (5 \cdot - 4 - (- 3 \cdot 1))$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1.1

Multipliez

$5$ par

$- 4$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - (- 3 \cdot 1))$

Étape 5.2.4.2.1.2

Multipliez

$- (- 3 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1.2.1

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - - 3)$

Étape 5.2.4.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 + 3)$

Étape 5.2.4.2.2

Additionnez

$- 20$ et

$3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Étape 5.2.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1.1

Multipliez

$4$ par

$- 7$ .

$- 28 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Étape 5.2.5.1.2

Multipliez

$3$ par

$- 1$ .

$- 28 - 3 + 1 \cdot - 17$

Étape 5.2.5.1.3

Multipliez

$- 17$ par

$1$ .

$- 28 - 3 - 17$

Étape 5.2.5.2

Soustrayez

$3$ de

$- 28$ .

$- 31 - 17$

Étape 5.2.5.3

Soustrayez

$17$ de

$- 31$ .

$- 48$

$D_{x} = - 48$

Étape 5.3

Utilisez la formule pour résoudre

$x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 5.4

Remplacez

$D$ par

$- 25$ et

$D_{x}$ par

$- 48$ dans la formule.

$x = \frac{- 48}{- 25}$

Étape 5.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{48}{25}$

Étape 6

Déterminez la valeur de

$y$ par la règle de Cramer, qui stipule que

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la colonne

$2$ de la matrice des coefficients qui correspond aux coefficients

$y$ du système par

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & - 2 \\ - 2 & - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2

Déterminez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments

$0$ . S’il n’y a aucun élément

$0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne

$1$ par son cofacteur et ajoutez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 6.2.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position

$-$ sur le tableau de signes.

Étape 6.2.1.3

Le mineur pour

$a_{11}$ est le déterminant dont la ligne

$1$ et la colonne

$1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.4

Multipliez l’élément

$a_{11}$ par son cofacteur.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.5

Le mineur pour

$a_{12}$ est le déterminant dont la ligne

$1$ et la colonne

$2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.6

Multipliez l’élément

$a_{12}$ par son cofacteur.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Étape 6.2.1.7

Le mineur pour

$a_{13}$ est le déterminant dont la ligne

$1$ et la colonne

$3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.1.8

Multipliez l’élément

$a_{13}$ par son cofacteur.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2

Évaluez

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1.1

Multipliez

$5$ par

$1$ .

$2 (5 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.1.2

Multipliez

$- (- 3 \cdot - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1.2.1

Multipliez

$- 3$ par

$- 2$ .

$2 (5 - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$6$ .

$2 (5 - 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.2

Soustrayez

$6$ de

$5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1.1

Multipliez

$1$ par

$1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.1.2

Multipliez

$- (- 2 \cdot - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.2.1.2.1

Multipliez

$- 2$ par

$- 2$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$4$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.2

Soustrayez

$4$ de

$1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 6.2.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5))$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1.1

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - (- 2 \cdot 5))$

Étape 6.2.4.2.1.2

Multipliez

$- (- 2 \cdot 5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1.2.1

Multipliez

$- 2$ par

$5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - - 10)$

Étape 6.2.4.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 + 10)$

Étape 6.2.4.2.2

Additionnez

$- 3$ et

$10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Étape 6.2.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.5.1.1

Multipliez

$2$ par

$- 1$ .

$- 2 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Étape 6.2.5.1.2

Multipliez

$- 4$ par

$- 3$ .

$- 2 + 12 + 1 \cdot 7$

Étape 6.2.5.1.3

Multipliez

$7$ par

$1$ .

$- 2 + 12 + 7$

Étape 6.2.5.2

Additionnez

$- 2$ et

$12$ .

$10 + 7$

Étape 6.2.5.3

Additionnez

$10$ et

$7$ .

$17$

$D_{y} = 17$

Étape 6.3

Utilisez la formule pour résoudre

$y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 6.4

Remplacez

$D$ par

$- 25$ et

$D_{y}$ par

$17$ dans la formule.

$y = \frac{17}{- 25}$

Étape 6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{17}{25}$

Étape 7

Déterminez la valeur de

$z$ par la règle de Cramer, qui stipule que

$z = \frac{D_{z}}{D}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la colonne

$3$ de la matrice des coefficients qui correspond aux coefficients

$z$ du système par

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & 5 \\ - 2 & - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 7.2

Déterminez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments

$0$ . S’il n’y a aucun élément

$0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne

$1$ par son cofacteur et ajoutez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 7.2.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position

$-$ sur le tableau de signes.

Étape 7.2.1.3

Le mineur pour

$a_{11}$ est le déterminant dont la ligne

$1$ et la colonne

$1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 7.2.1.4

Multipliez l’élément

$a_{11}$ par son cofacteur.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Étape 7.2.1.5

Le mineur pour

$a_{12}$ est le déterminant dont la ligne

$1$ et la colonne

$2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 7.2.1.6

Multipliez l’élément

$a_{12}$ par son cofacteur.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 7.2.1.7

Le mineur pour

$a_{13}$ est le déterminant dont la ligne

$1$ et la colonne

$3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.1.8

Multipliez l’élément

$a_{13}$ par son cofacteur.

$4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.2

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (1 \cdot - 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1.1

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$2 (- 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.2.2.1.2

Multipliez

$- (- 4 \cdot 5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$5$ .

$2 (- 3 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.2.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 20$ .

$2 (- 3 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.2.2.2

Additionnez

$- 3$ et

$20$ .

$2 \cdot 17 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 17 + 3 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1.1

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.3.2.1.2

Multipliez

$- (- 2 \cdot 5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1.2.1

Multipliez

$- 2$ par

$5$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - - 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.3.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 10$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 + 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.3.2.2

Additionnez

$- 3$ et

$10$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Étape 7.2.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Étape 7.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.2.1.1

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Étape 7.2.4.2.1.2

Multipliez

$- (- 2 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.2.1.2.1

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - - 2)$

Étape 7.2.4.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 + 2)$

Étape 7.2.4.2.2

Additionnez

$- 4$ et

$2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Étape 7.2.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.1.1

Multipliez

$2$ par

$17$ .

$34 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Étape 7.2.5.1.2

Multipliez

$3$ par

$7$ .

$34 + 21 + 4 \cdot - 2$

Étape 7.2.5.1.3

Multipliez

$4$ par

$- 2$ .

$34 + 21 - 8$

Étape 7.2.5.2

Additionnez

$34$ et

$21$ .

$55 - 8$

Étape 7.2.5.3

Soustrayez

$8$ de

$55$ .

$47$

$D_{z} = 47$

Étape 7.3

Utilisez la formule pour résoudre

$z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Étape 7.4

Remplacez

$D$ par

$- 25$ et

$D_{z}$ par

$47$ dans la formule.

$z = \frac{47}{- 25}$

Étape 7.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$z = - \frac{47}{25}$

Étape 8

Indiquez la solution au système d’équations.

$x = \frac{48}{25}$

$y = - \frac{17}{25}$

$z = - \frac{47}{25}$