Algèbre linéaire Exemples

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

y - 2 z + x - 5 = 0

$y - 2 z + x - 5 = 0$

3 - 2 x = 4 y - z

$3 - 2 x = 4 y - z$

Étape 1

Déplacez les variables du côté gauche et les termes constants du côté droit.

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Étape 1.1

Ajoutez

5

$5$ aux deux côtés de l’équation.

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

y - 2 z + x = 5

$y - 2 z + x = 5$

3 - 2 x = 4 y - z

$3 - 2 x = 4 y - z$

Étape 1.2

Déplacez

- 2 z

$- 2 z$ .

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

y + x - 2 z = 5

$y + x - 2 z = 5$

3 - 2 x = 4 y - z

$3 - 2 x = 4 y - z$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre

y

$y$ et

x

$x$ .

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

3 - 2 x = 4 y - z

$3 - 2 x = 4 y - z$

Étape 1.4

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.4.1

Soustrayez

4 y

$4 y$ des deux côtés de l’équation.

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

3 - 2 x - 4 y = - z

$3 - 2 x - 4 y = - z$

Étape 1.4.2

Ajoutez

z

$z$ aux deux côtés de l’équation.

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

3 - 2 x - 4 y + z = 0

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

3 - 2 x - 4 y + z = 0

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

Étape 1.5

Soustrayez

3

$3$ des deux côtés de l’équation.

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

- 2 x - 4 y + z = - 3

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

- 2 x - 4 y + z = - 3

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

Étape 2

Écrivez le système comme une matrice.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 3 & 1 & 4 1 & 1 & - 2 & 5 - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.1

Multipliez chaque élément de

R_{1}

$R_{1}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez chaque élément de

R_{1}

$R_{1}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{2}{2} & \frac{- 3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{4}{2} 1 & 1 & - 2 & 5 - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{4}{2} \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 1 & 1 & - 2 & 5 - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 1 & 1 & - 2 & 5 - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

Étape 3.2

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

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Étape 3.2.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 1 - 1 & 1 + \frac{3}{2} & - 2 - \frac{1}{2} & 5 - 2 - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 1 - 1 & 1 + \frac{3}{2} & - 2 - \frac{1}{2} & 5 - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

Étape 3.3

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 1$ un

$0$ .

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Étape 3.3.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 (- \frac{3}{2}) & 1 + 2 (\frac{1}{2}) & - 3 + 2 \cdot 2 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 3.4

Multipliez chaque élément de

$R_{2}$ par

$\frac{2}{5}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 2$ un

$1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque élément de

$R_{2}$ par

$\frac{2}{5}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 2$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} (- \frac{5}{2}) & \frac{2}{5} \cdot 3 \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 3.4.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]$

Étape 3.5

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} + 7 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 2$ un

$0$ .

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Étape 3.5.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} + 7 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & 2 + 7 \cdot - 1 & 1 + 7 (\frac{6}{5}) \end{array}]$

Étape 3.5.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & - 5 & \frac{47}{5} \end{array}]$

Étape 3.6

Multipliez chaque élément de

$R_{3}$ par

$- \frac{1}{5}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 3$ un

$1$ .

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Étape 3.6.1

Multipliez chaque élément de

$R_{3}$ par

$- \frac{1}{5}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 3$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot \frac{47}{5} \end{array}]$

Étape 3.6.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

Étape 3.7

Réalisez l’opération de ligne

$R_{2} = R_{2} + R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 3$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{2} = R_{2} + R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & \frac{6}{5} - \frac{47}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

Étape 3.7.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

Étape 3.8

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 3$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 2 - \frac{1}{2} (- \frac{47}{25}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

Étape 3.8.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & \frac{147}{50} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

Étape 3.9

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 2$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{147}{50} + \frac{3}{2} (- \frac{17}{25}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

Étape 3.9.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{48}{25} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

Étape 4

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.

$x = \frac{48}{25}$

$y = - \frac{17}{25}$

$z = - \frac{47}{25}$

Étape 5

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(\frac{48}{25}, - \frac{17}{25}, - \frac{47}{25})$