Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 3 & - 1 & 0 6 & - 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 \end{array}]$

Étape 1

Pour déterminer si les colonnes dans la matrice sont linéairement dépendantes, déterminez si l’équation

A x = 0

$A x = 0$ a des solutions non triviales.

Étape 2

Écrivez comme une matrice augmentée pour

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 3 & - 1 & 0 & 0 6 & - 2 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

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Étape 3.1.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 2 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 6 & - 2 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 2 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & - 7 & - 3 & 0 6 & - 2 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & - 7 & - 3 & 0 6 & - 2 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.2

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

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Étape 3.2.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & - 7 & - 3 & 0 6 - 6 \cdot 1 & - 2 - 6 \cdot 2 & 0 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & - 2 - 6 \cdot 2 & 0 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & - 7 & - 3 & 0 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & - 7 & - 3 & 0 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3

Multipliez chaque élément de

R_{2}

$R_{2}$ par

- \frac{1}{7}

$- \frac{1}{7}$ pour faire de l’entrée sur

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque élément de

R_{2}

$R_{2}$ par

- \frac{1}{7}

$- \frac{1}{7}$ pour faire de l’entrée sur

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 3 & - \frac{1}{7} \cdot 0 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 3 & - \frac{1}{7} \cdot 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

Étape 3.4

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

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Étape 3.4.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

3, 2

$3, 2$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 0 + 14 \cdot 0 & - 14 + 14 \cdot 1 & - 6 + 14 (\frac{3}{7}) & 0 + 14 \cdot 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 + 14 \cdot 0 & - 14 + 14 \cdot 1 & - 6 + 14 (\frac{3}{7}) & 0 + 14 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.4.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.5

Réalisez l’opération de ligne

R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

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Étape 3.5.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{3}{7}) & 0 - 2 \cdot 0 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{3}{7}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.5.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4

Retirez les lignes qui ne comportent que des zéros.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \end{array}]$

Étape 5

Écrivez la matrice comme un système d’équations linéaires.

$x + \frac{1}{7} z = 0$

$y + \frac{3}{7} z = 0$

Étape 6

Comme il y a des solutions non triviales à

$A x = 0$ , les vecteurs sont dépendants linéairement.

Dépendant linéairement