Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \\ 1 \\ 2 \end{array}]$ ,

$[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \\ 5 \\ 2 \end{array}]$ ,

$[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \\ 6 \\ 1 \end{array}]$

Étape 1

Pour déterminer si les colonnes dans la matrice sont linéairement dépendantes, déterminez si l’équation

$A x = 0$ a des solutions non triviales.

Étape 2

Écrivez comme une matrice augmentée pour

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque élément de

$R_{1}$ par

$\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 1$ un

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Multipliez chaque élément de

$R_{1}$ par

$\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 1$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.2

Réalisez l’opération de ligne

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 1$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + \frac{1}{2} & 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 1$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 (\frac{1}{2}) & - 3 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.4

Réalisez l’opération de ligne

$R_{4} = R_{4} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$4, 1$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{4} = R_{4} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$4, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 1 - 1 & 5 - \frac{1}{2} & 6 - 1 & 0 - 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.4.2

Simplifiez

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.5

Réalisez l’opération de ligne

$R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$5, 1$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$5, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 (\frac{1}{2}) & 1 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.5.2

Simplifiez

$R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.6

Multipliez chaque élément de

$R_{2}$ par

$\frac{2}{5}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 2$ un

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Multipliez chaque élément de

$R_{2}$ par

$\frac{2}{5}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 2$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} \cdot 2 & \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.6.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.7

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 2$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 7 + 3 (\frac{4}{5}) & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.7.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.8

Réalisez l’opération de ligne

$R_{4} = R_{4} - \frac{9}{2} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$4, 2$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{4} = R_{4} - \frac{9}{2} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$4, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 - \frac{9}{2} \cdot 0 & \frac{9}{2} - \frac{9}{2} \cdot 1 & 5 - \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{5} & 0 - \frac{9}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.8.2

Simplifiez

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.9

Réalisez l’opération de ligne

$R_{5} = R_{5} - R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$5, 2$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{5} = R_{5} - R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$5, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 1 - \frac{4}{5} & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 3.9.2

Simplifiez

$R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Étape 3.10

Multipliez chaque élément de

$R_{3}$ par

$- \frac{5}{23}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 3$ un

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.1

Multipliez chaque élément de

$R_{3}$ par

$- \frac{5}{23}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 3$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ - \frac{5}{23} \cdot 0 & - \frac{5}{23} \cdot 0 & - \frac{5}{23} (- \frac{23}{5}) & - \frac{5}{23} \cdot 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Étape 3.10.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Étape 3.11

Réalisez l’opération de ligne

$R_{4} = R_{4} - \frac{7}{5} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

$4, 3$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{4} = R_{4} - \frac{7}{5} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

$4, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 & \frac{7}{5} - \frac{7}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Étape 3.11.2

Simplifiez

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Étape 3.12

Réalisez l’opération de ligne

$R_{5} = R_{5} + \frac{9}{5} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

$5, 3$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{5} = R_{5} + \frac{9}{5} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

$5, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 & 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 & - \frac{9}{5} + \frac{9}{5} \cdot 1 & 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.12.2

Simplifiez

$R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.13

Réalisez l’opération de ligne

$R_{2} = R_{2} - \frac{4}{5} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 3$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{2} = R_{2} - \frac{4}{5} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 - \frac{4}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{4}{5} \cdot 0 & \frac{4}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{4}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.13.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.14

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 3$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.14.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 3$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & \frac{1}{2} - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.14.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.15

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 2$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.15.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.15.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4

Retirez les lignes qui ne comportent que des zéros.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 5

Écrivez la matrice comme un système d’équations linéaires.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Étape 6

Comme la seule solution à

$A x = 0$ est la solution triviale, les vecteurs sont dépendants linéairement.

Indépendant linéairement