Algèbre linéaire Exemples

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

Étape 1

Calculez la distance de $(a, b)$ à l’origine en utilisant la formule $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez $\sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$r = \sqrt{{(3 (- \cos (0)))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{9 + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$r = \sqrt{9 + {(\sin (0) \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez $0$ par $3$ .

$r = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Étape 2.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$r = \sqrt{9 + 0}$

Étape 2.9

Additionnez $9$ et $0$ .

$r = \sqrt{9}$

Étape 2.10

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$r = \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$r = 3$

Étape 3

Calculez l’angle de référence $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Étape 4

Simplifiez $\arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’expression.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (0)}{\cos (π)} |)$

Étape 4.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- \cos (0)} |)$

Étape 4.3.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1 \cdot 1} |)$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{0}{- 1}$ .

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot 0 |)$

Étape 4.4.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

Étape 4.5

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$θ̂ = \arctan (0)$

Étape 4.6

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$θ̂ = 0$

Étape 5

Déterminez le quadrant.

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Étape 5.1

$(3 (- \cos (0)), \sin (π) \cdot 3)$

Étape 5.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$(3 (- 1 \cdot 1), \sin (π) \cdot 3)$

Étape 5.3

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(3 \cdot - 1, \sin (π) \cdot 3)$

Étape 5.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

Étape 5.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$(- 3, \sin (0) \cdot 3)$

Étape 5.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$(- 3, 0 \cdot 3)$

Étape 5.6

Multipliez $0$ par $3$ .

$(- 3, 0)$

Étape 5.7

Comme la coordonnée x est négative et la coordonnée y est $0$ , le point se situe sur l’abscisse entre le deuxième et le troisième quadrant. Les quadrants sont étiquetés dans l’ordre antihoraire, en commençant en haut à droite.

Entre le quadrant $2$ et $3$

Étape 6

Utilisez la formule pour déterminer les racines du nombre complexe.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Étape 7

Remplacez $r$ , $n$ et $θ$ dans la formule.

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Étape 7.1

Associez ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{θ + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Étape 7.2

Associez $c$ et $\frac{{(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Étape 7.3

Associez $i$ et $\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Étape 7.4

Associez $s$ et $\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Étape 7.5

Supprimez les parenthèses.

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Étape 7.5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Étape 7.5.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Étape 7.5.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}$

Étape 7.5.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Étape 7.5.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}$

Étape 7.5.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Étape 7.5.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Étape 8

Remplacez $k = 0$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 8.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Étape 8.2

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 8.2.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0 π}{3})$

Étape 8.2.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})$

Étape 9

Remplacez $k = 1$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 9.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

Étape 10

Remplacez $k = 2$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 10.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

Étape 11

Indiquez les solutions.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})$

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$