Algèbre linéaire Exemples

$125 i$

Étape 1

Calculez la distance de $(a, b)$ à l’origine en utilisant la formule $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{0^{2} + 125^{2}}$

Étape 2

Simplifiez $\sqrt{0^{2} + 125^{2}}$ .

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Étape 2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$r = \sqrt{0 + 125^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $125$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{0 + 15625}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $15625$ .

$r = \sqrt{15625}$

Étape 2.4

Réécrivez $15625$ comme $125^{2}$ .

$r = \sqrt{125^{2}}$

Étape 2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$r = 125$

Étape 3

Calculez l’angle de référence $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{125}{0} |)$

Étape 4

L’équation a une fraction indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Comme la coordonnée y est positive et la coordonnée x est $0$ , le point se situe sur l’ordonnée entre le premier et le quatrième quadrant. Les quadrants sont étiquetés dans l’ordre antihoraire, en commençant en haut à droite.

Entre le quadrant $1$ et $2$

Étape 6

Utilisez la formule pour déterminer les racines du nombre complexe.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Étape 7

Remplacez $r$ , $n$ et $θ$ dans la formule.

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Étape 7.1

Associez ${(125)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{θ + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(125)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Étape 7.2

Associez $c$ et $\frac{{(125)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(125)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Étape 7.3

Associez $i$ et $\frac{c ({(125)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(125)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Étape 7.4

Associez $s$ et $\frac{i (c ({(125)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(125)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Étape 7.5

Supprimez les parenthèses.

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Étape 7.5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c (125^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Étape 7.5.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 125^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Étape 7.5.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 125^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}$

Étape 7.5.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 125^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Étape 7.5.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 125^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}$

Étape 7.5.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c) \cdot 125^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Étape 7.5.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s i c \cdot 125^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Étape 8

Remplacez $k = 0$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 8.1

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

$k = 0 : {(5^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Étape 8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 5^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun.

$k = 0 : 5^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Étape 8.3.2

Réécrivez l’expression.

$k = 0 : 5 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Étape 8.4

Évaluez l’exposant.

$k = 0 : 5 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Étape 8.5

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 8.5.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$k = 0 : 5 c i s (\frac{θ + 0 π}{3})$

Étape 8.5.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$k = 0 : 5 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

Étape 9

Remplacez $k = 1$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 9.1

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

$k = 1 : {(5^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Étape 9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 5^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun.

$k = 1 : 5^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Étape 9.3.2

Réécrivez l’expression.

$k = 1 : 5 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Étape 9.4

Évaluez l’exposant.

$k = 1 : 5 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Étape 9.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$k = 1 : 5 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

Étape 10

Remplacez $k = 2$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 10.1

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

$k = 2 : {(5^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Étape 10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 2 : 5^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.3.1

Annulez le facteur commun.

$k = 2 : 5^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Étape 10.3.2

Réécrivez l’expression.

$k = 2 : 5 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Étape 10.4

Évaluez l’exposant.

$k = 2 : 5 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Étape 10.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$k = 2 : 5 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

Étape 11

Indiquez les solutions.

$k = 0 : 5 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

$k = 1 : 5 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

$k = 2 : 5 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$