Algèbre linéaire Exemples

$4 i$

Étape 1

Calculez la distance de

$(a, b)$ à l’origine en utilisant la formule

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{0^{2} + 4^{2}}$

Étape 2

Simplifiez

$\sqrt{0^{2} + 4^{2}}$ .

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Étape 2.1

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$r = \sqrt{0 + 4^{2}}$

Étape 2.2

Élevez

$4$ à la puissance

$2$ .

$r = \sqrt{0 + 16}$

Étape 2.3

Additionnez

$0$ et

$16$ .

$r = \sqrt{16}$

Étape 2.4

Réécrivez

$16$ comme

$4^{2}$ .

$r = \sqrt{4^{2}}$

Étape 2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$r = 4$

Étape 3

Calculez l’angle de référence

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{0} |)$

Étape 4

L’équation a une fraction indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Comme la coordonnée y est positive et la coordonnée x est

$0$ , le point se situe sur l’ordonnée entre le premier et le quatrième quadrant. Les quadrants sont étiquetés dans l’ordre antihoraire, en commençant en haut à droite.

Entre le quadrant

$1$ et

$2$

Étape 6

Utilisez la formule pour déterminer les racines du nombre complexe.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Étape 7

Remplacez

$r$ ,

$n$ et

$θ$ dans la formule.

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Étape 7.1

Associez

${(4)}^{\frac{1}{2}}$ et

$\frac{θ + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Étape 7.2

Associez

$c$ et

$\frac{{(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Étape 7.3

Associez

$i$ et

$\frac{c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Étape 7.4

Associez

$s$ et

$\frac{i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Étape 7.5

Supprimez les parenthèses.

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Étape 7.5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c (4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Étape 7.5.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Étape 7.5.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 4^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k))}{2}$

Étape 7.5.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Étape 7.5.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 4^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k)}{2}$

Étape 7.5.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c) \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Étape 7.5.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Étape 8

Remplacez

$k = 0$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 8.1

Réécrivez

$4$ comme

$2^{2}$ .

$k = 0 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Étape 8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun.

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Étape 8.3.2

Réécrivez l’expression.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Étape 8.4

Évaluez l’exposant.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Étape 8.5

Multipliez

$2 π (0)$ .

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Étape 8.5.1

Multipliez

$0$ par

$2$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0 π}{2})$

Étape 8.5.2

Multipliez

$0$ par

$π$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{2})$

Étape 9

Remplacez

$k = 1$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 9.1

Réécrivez

$4$ comme

$2^{2}$ .

$k = 1 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Étape 9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun.

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Étape 9.3.2

Réécrivez l’expression.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Étape 9.4

Évaluez l’exposant.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Étape 9.5

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$

Étape 10

Indiquez les solutions.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{2})$

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$